Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Функція (математика)



План:


Введення

Графік функції
\ Begin {align} & \ scriptstyle \ \ & \ textstyle f (x) = \ frac {(4x ^ 3-6x ^ 2 +1) \ sqrt {x +1}} {3-x} \ end {align} .

Функція - математичне поняття, що відображає зв'язок між елементами множин. Можна сказати, що функція це "закон", за яким кожному елементу однієї множини (званому областю визначення) ставиться у відповідність певний елемент іншої безлічі (званого областю значень).

Математичне поняття функції виражає інтуїтивне уявлення про те, як одна величина повністю визначає значення іншої величини. Так значення змінної x однозначно визначає значення виразу x 2 , А значення місяці однозначно визначає значення наступного за ним місяця, також будь-якій людині можна зіставити іншу людину - його батька. Аналогічно, деякий задуманий заздалегідь алгоритм по варійованих вхідними даними видає певні вихідні дані.

Часто під терміном "функція" розуміється числова функція; тобто функція яка ставить одні числа у відповідність іншим. Ці функції зручно представляються на малюнках у вигляді графіків.


1. Історія

Термін "функція" (в деякому більш вузькому сенсі) був вперше використаний Лейбніцем (1692 рік). У свою чергу, Йоганн Бернуллі в листі до того ж Лейбницу вжив цей термін в сенсі, більш близькому до сучасного. [1]

Спочатку, поняття функції було відрізнити від поняття аналітичного уявлення. Згодом з'явилося визначення функції, дане Ейлером (1751 рік), потім - у Лакруа (1806 рік) - вже практично в сучасному нам вигляді. Нарешті, загальне визначення функції (у сучасній формі, але для числових функцій) було дано Лобачевським (1834 рік) і Дирихле (1837 рік). [2]

До кінця XIX століття поняття функції переросло рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, незабаром Фреге ввів логічні функції ( 1879), а після появи теорії множин Дедекинда ( 1887) і Пеано ( 1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.


2. Визначення

Найбільш суворим визначенням функції є теоретико-множинне визначення (на основі поняття бінарного відношення). Часто замість визначення функції дається її інтітівное опис; тобто поняття функції перекладається на звичайну мову, використовуючи слова "закон", "правило" або "відповідність".

2.1. Інтуїтивне опис

Функція f (Відображення, операція, оператор) - це закон або правило, згідно з яким кожному [3] елементу x з безлічі X ставиться у відповідність єдиний елемент y з безлічі Y . [4]

При цьому говорять, що функція f задана на множині X , Або що f відображає X в Y .

Якщо елементу x \ in X сопоставлен елемент y \ in Y , То говорять, що елемент y знаходиться у функціональній залежності f від елемента x . При цьому змінна x називається аргументом функції f або незалежної змінної, безліч X називається областю завдання або областю визначення функції, а елемент y , Відповідний конкретному елементу x - Приватним значенням функції f в точці x . Безліч Y всіх можливих приватних значень функції f називається її областю значень або областю зміни.


2.2. Теоретико-множинне визначення

У теоретичній математиці функцію f зручно визначити як бінарне відношення (тобто безліч впорядкованих пар (X, y) \ in X \ times Y ), Яке задовольняє наступній умові: для будь-якого [3] x \ in X існує єдиний елемент y \ in Y такий, що (X, y) \ in f .

Це і дозволяє говорити про те, що елементу x \ in X зіставлений один і тільки один елемент y \ in Y такий, що (X, y) \ in f .

Таким чином, функція - це впорядкована трійка (або кортеж) об'єктів (F, X, Y) , Де

  • безліч X називається областю визначення;
  • безліч Y називається областю значень;
  • безліч впорядкованих пар f \ subseteq X \ times Y або, що те ж саме, графік функції.

3. Позначення

Якщо задана функція f , Яка визначена на множині X та приймає значення в множині Y , Тобто, функція f відображає безліч X в Y , То

  • цей факт коротко записують у вигляді f \ colon X \ to Y або X \ stackrel {f} {\ longrightarrow} Y .
  • область визначення функції f (Безліч X ) Позначається D (f) , Або \ Mathrm {dom} \, f ;
  • область значень функції f (Безліч Y ) Позначається R (f) ( E (f) ), Або \ Mathrm {cod} \, f ( \ Mathrm {ran} \, f ).

Наявність функціональної залежності між елементом x \ in X і елементом y \ in Y

  • найбільш часто позначається як
    y = f (x) ,
    f: x \ mapsto y або
    x \ mapsto y ;
  • рідше використовується позначення без дужок y = f x , y = f \ circ x або y = x f ,
  • а там, де необхідно підкреслити подвійність, використовуються позначення з дужками: y = (f, x) або y = (x, f) ;
  • так само існує і операторний позначення y = x f , Яке можна зустріти в загальної алгебри.
  • λ x. y в лямбда-численні Черча.

3.1. Функції декількох аргументів

Визначення функції легко узагальнити на випадок функції багатьох аргументів.

Якщо безліч X являє собою декартовій твір множин X_1, \; X_2, \; \ ldots, \; X_n , Тоді відображення f \ colon X \ to Y виявляється n -Місцевим відображенням, при цьому елементи впорядкованого набору x = \ left \ {(x_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n) \ right \} називаються аргументами (даної n -Місній функції), кожен з яких пробігає своє безліч:

x_i \ in X_i де i = \ overline {1, n} .

У цьому випадку y = f (x) означає, що y = f \ left \ {(x_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n) \ right \} .


4. Способи завдання функції

4.1. Аналітичний спосіб

Функція математичний об'єкт являє собою бінарне відношення, яке задовольняє певним умовам. Функцію можна задати безпосередньо як безліч впорядкованих пар, наприклад: f = \ {(a, d), (b, e), (c, f) \} \; є функція f: \ {a, b, c \} \ to \ {d, e, f \} \; . Однак, цей спосіб зовсім непридатний для функцій на нескінченних множинах (якими є звичні речові функції: статечний, лінійна, показова, логарифмічна і т. п.).

Для завдання функції користуються виразом: y = f (x) \; . При цьому, x є змінна, що пробігає область визначення функції, а y - Область значень. Цей запис говорить про наявність функціональної залежності між елементами множин. Х і y можуть пробігати будь-яку безліч об'єктів будь-якої природи. Це можуть бути числа, вектори, матриці, яблука, кольору веселки. Пояснимо на прикладі:

Нехай є безліч X = \ {\; яблуко, літак, груша, стілець \} \; і безліч Y = \ {\; людина, паровоз, квадрат \} \; . Задамо функцію f наступним чином: f = \ {\; (Яблуко, людина), (літак, паровоз), (груша, квадрат), (стілець, людина) \} \; . Якщо ввести змінну x, пробігають безліч X \; і змінну y, пробігають безліч Y \; , Зазначену функцію можна задати аналітично, як: y = f (x) \; .

Аналогічно можна задавати числові функції. Наприклад: y = x ^ 2 \; де х пробігає безліч дійсних чисел задає деяку функцію f. Важливо розуміти, що саме вираження y = x ^ 2 \; не є функцією. Функція як об'єкт являє собою безліч (упорядкованих пар). А цей вислів як об'єкт є рівність двох змінних. Воно задає функцію, але не є нею.

Однак, у багатьох розділах математики, можна позначати через f (x) як саму функцію, так і аналітичний вираз, що задає її. Це синтаксичне угода є вкрай зручним і виправданим.


4.2. Графічний спосіб

Числові функції можна також задавати з допомогою графіка. Нехай z = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) \; - Речова функція n змінних.

Розглянемо деякий (n +1)-мірне лінійний простір над полем дійсних чисел (так як функція речова). Виберемо в цьому просторі будь базис ( \ Vec e_z, \ vec e_1, \ vec e_2, \ ldots, \ vec e_n \; ). Кожній точці функції зіставимо вектор: z \ vec e_z + x_1 \ vec e_1 + x_2 \ vec e_2 + \ ldots + x_n \ vec e_n \; . Таким чином, ми будемо мати безліч векторів лінійного простору, відповідних точкам даної функції за вказаною правилу. Точки відповідного аффинного простору будуть утворювати деяку поверхню.

Якщо як лінійного простору взяти евклидово простір вільних геометричних векторів (спрямованих відрізків), а число аргументів функції f не перевершує 2, зазначений безліч точок можна зобразити наочно у вигляді креслення (графіка). Якщо понад те вихідний базис взяти ортонормированном, отримаємо "шкільне" визначення графіка функції.

Для функцій 3 аргументів і більше таке подання не стосується зважаючи на відсутність у людини геометричній інтуїції багатовимірних просторів.

Однак, і для таких функцій можна придумати наочне полугеометріческое подання (наприклад кожному значенню четвертої координати точки зіставити деякий колір на графіку)


5. Пов'язані визначення

5.1. Звуження і продовження функції

Нехай дано відображення f \ colon X \ to Y і M \ subset X .

Відображення g \ colon M \ to Y , Яка приймає на M ті ж значення, що і функція f , Називається звуженням (або, інакше обмеженням) функції f на безліч M .

Звуження функції f на безліч M позначається як f \ big | _M .

Якщо функція g \ colon M \ to Y така, що вона є звуженням для деякої функції f \ colon X \ to Y , То функція f , В свою чергу, називається продовженням функції g на безліч X .


5.2. Образ і прообраз (при відображенні)

Елемент y = f (x) , Який сопоставлен елементу x , Називається чином елемента (точки) x (При відображенні f ).

Якщо взяти ціле підмножина A області визначення функції f , То можна розглянути сукупність образів всіх елементів множини A , А саме підмножина області значень (функції f ) Виду

f (A): = \ {f (x) \ colon x \ in A \} ,

яке, називається чином безлічі A (При відображенні f ). Це безліч іноді позначається як f [A] або A f .

Навпаки, взявши деяку підмножину B області значень функції f , Можна розглянути сукупність тих елементів області визначення (функції f ), Чиї образи потрапляють в безліч B , А саме - безліч виду

f ^ {-1} (B): = \ {x \ colon f (x) \ in B \} ,

яке називається (повним) прообразом безлічі B (При відображенні f ).

У тому окремому випадку, коли безліч B складається з одного елемента, скажімо, B = {y} , Безліч f - 1 ({y}) = {x: f (x) = y} має більш просте позначення f - 1 (y) .


5.3. Тотожне відображення

Відображення, у яких збігаються область визначення і область значень, називаються відображеннями заданої множини в себе або перетвореннями.

Зокрема, перетворення f \ colon X \ to X , Яке зіставляє кожній точці x безлічі X її саму або, що теж саме,

f (x) = x для кожного x \ in X ,

називається тотожним.

Це відображення має спеціальне позначення: i d X або, простіше, i d (Якщо з контексту зрозуміло, яке безліч мається на увазі). Таке позначення зобов'язане своїм походженням англ. слову identity ("ідентичність, тотожність").

Інше позначення тотожного перетворення - 1 X . Таке відображення є унарний операцією, заданої на множині X . Тому, нерідко, тотожне перетворення називають одиничним.


5.4. Композиція відображень

Нехай f \ colon X \ to Y і g \ colon Y \ to Z - Два заданих відображення таких, що область значень першого відображення є підмножиною області визначення другого відображення. Тоді для всякого x \ in X однозначно визначається елемент y \ in Y такий, що y = f (x) , Але для цього самого y однозначно визначається елемент z \ in Z такий, що z = g (y) . Тобто, для всякого x \ in X однозначно визначається елемент z \ in Z такий, що z = g (f (x)) . Іншими словами, визначено відображення h таке, що

h (x) = g (f (x)) для всякого x \ in X .

Це відображення називається композицією відображень f і g і позначається

  • або f \ cdot g або f \ cdot g ,
  • або g \ circ f (Саме в такому порядку!), Що є найбільш вживаною.

5.5. Зворотне відображення

Якщо відображення f \ colon X \ to Y є взаємно однозначним або биективное (див. нижче), то визначено відображення f ^ {-1} \ colon Y \ to X , У якого

  • область визначення (безліч Y ) Збігається з областю значень відображення f ;
  • область значень (безліч X ) Збігається з областю визначення відображення f ;
  • x = f - 1 (y) тоді і тільки тоді, коли y = f (x) .

Таке відображення називається зворотним по відношенню до відображення f .

Відображення, у якого визначено зворотне, називається оборотним.

У термінах композиції функції, властивість оборотності полягає в одночасному виконанні двох умов: f ^ {-1} \ circ f = id_X і f \ circ f ^ {-1} = id_Y .


6. Властивості

Нехай задана функція f \ colon X \ to Y , Де X і Y - Дані множини, причому X = d o m f . Кожна така функція може мати деякі властивості, опис яких наведено нижче.

6.1. Образ і прообраз при відображенні

6.1.1. Взяття образу

Покладемо, A і B - Підмножини області визначення. Взяття образу (або, що те ж саме, застосування оператора f ) Має такі властивості:

  • f (\ varnothing) = \ varnothing ;
  • A \ ne \ varnothing \ Rightarrow f (A) \ ne \ varnothing ;
  • A \ subset B \ Rightarrow f (A) \ subset f (B) .

Далі

  • образ об'єднання дорівнює об'єднанню образів: f (A \ cup B) = f (A) \ cup f (B) ;
  • образ перетину є підмножиною перетину образів f (A \ cap B) \ subseteq f (A) \ cap f (B) .

Останні дві властивості, взагалі кажучи, допускають узагальнення на будь-яку кількість множин, більше двох (як воно тут сформульовано).


6.1.2. Взяття прообразу

Покладемо, A і B - Підмножини безлічі Y .

За аналогією з взяттям образу, взяття прообразу (перехід до прообразу) володіє також наступними двома очевидними властивостями:

  • прообраз об'єднання дорівнює об'єднанню прообразів: f ^ {-1} (A \ cup B) = f ^ {-1} (A) \ cup f ^ {-1} (B) ;
  • прообраз перетину дорівнює перетинанню прообразів f ^ {-1} (A \ cap B) = f ^ {-1} (A) \ cap f ^ {-1} (B) .

Дані властивості, також, допускають узагальнення на будь-яку кількість множин, більше двох (як воно тут сформульовано).

У випадку, якщо відображення оборотно (див. нижче), прообраз кожної точки області значень одноточковий, тому для оборотних відображень виконується наступне посилене властивість для перетинів:

  • образ перетину дорівнює перетинанню образів: f (A \ cap B) = f (A) \ cap f (B) .

6.2. Поведінка функцій

6.2.1. Сюр'ектівность

Функція f називається сюр'ектівной (або, коротко, сюр'екція), якщо кожному елементу безлічі прибуття може бути підтверджено хоча б один елемент області визначення. Іншими словами, функція f сюр'ектівна, якщо образ безлічі X при відображенні збігається з безліччю Y : f [X] = Y .

Таке відображення називається ще відображенням на.

Якщо умова сюр'ектівності порушується, то таке відображення називають відображенням в.


6.2.2. Ін'ектівность

Функція f називається ін'ектівной (або, коротко, ін'єкція), якщо різним елементам множини X зіставлені різні елементи множини Y . Більш формально, функція f ін'ектівна, якщо для будь-яких двох елементів x_1, x_2 \ in X таких, що f (x 1) = f (x 2) , Неодмінно виконується x 1 = x 2 .

Іншими словами, сюр'екція - це коли "у кожного образу є прообраз", а ін'єкція - це коли "різні - в різні". Тобто, при ін'єкції не буває так, щоб два чи більше різних елементів X відображалися в один і той же елемент Y . А при сюр'екціі не буває так, щоб якийсь елемент Y не мав прообразу.


6.2.3. Биективное

Якщо функція є і сюр'ектівной, і ін'ектівной, то таку функцію називають биективное або взаємно однозначною.

6.2.4. Зростання і спадання

Нехай дана функція f: M \ subset \ R \ to \ R. Тоді

  • функція f називається зростаючою на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ ge f (y) .
  • функція f називається строго зростаючої на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x)> f (y) .
  • функція f називається спадною на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ le f (y) .
  • функція f називається строго спадною на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) <f (y) .

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.


6.2.5. Періодичність

Функція f: M \ to N називається періодичною з періодом T \ not = 0 , Якщо справедливо

f (x + T) = f (x), \ quad \ forall x \ in M .

Якщо це рівність не виконано ні для якого T \ in M, \, T \ not = 0 , То функція f називається аперіодичної.


6.2.6. Парність

  • Функція f: X \ to \ mathbb {R} називається непарної, якщо справедливо рівність
f (-x) =- f (x), \ quad \ forall x \ in X.
  • Функція f називається парною, якщо справедливо рівність
f (-x) = f (x), \ quad \ forall x \ in X.

6.2.7. Екстремуми функції

Нехай дана функція f: M \ subset \ R \ to \ R, і x_0 \in M^0 - внутренняя точка области определения f. Тоді

  • x 0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x 0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

7. Приклади

В зависимости от того, какова природа области определения и области значений, различают случаи, когда эти области - это:

  • абстрактные множества - множества, без какой-либо дополнительной структуры;
  • множества, которые наделены некоторой структурой.

В первом случае рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:

В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:

  • конечные функции - отображения конечных множеств;
  • последовательности - отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции - отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

Во втором случае, основной объект рассмотрения - заданная на множестве структура и то, что происходит с этой структурой при отображении: если существует взаимно однозначное отображение одной структуры в другую, что при отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается "с точностью до изоморфизма ".

Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах заданных на множествах структурах. Например, свойство непрерывности, требует задания топологической структуры. .


8. Варіації і узагальнення

8.1. Частично определённые функции

Частично определённая функция f из множества X в множество Y есть функция f\colon X'\to Y с облатью определения X'\subset X .

Некоторые авторы понимают под функцией, частично определённую функцию. Это имеет свои приемуцества, например возможна запись f\colon \R\to\R , Де f ( x) = 1 / x в цьому випадку \ Mathop {\ rm Dom} f = \ R \ backslash \ {0 \} .


8.2. Багатозначні функції

У силу визначення функції, заданому значенню аргументу відповідає рівно одне значення функції. Не дивлячись на це, нерідко, можна почути про т. зв. "Багатозначні" функції. Насправді, це не більше ніж зручне позначення функції, область значень якої саме є сімейством множин.

Нехай f \ colon X \ to \ mathbb {B} , Де \ Mathbb {B} - Сімейство підмножин множини Y . Тоді f (x) буде безліччю для всякого x \ in X .


Примітки

  1. В. А. Зорич Глава I. Деякі общематематіческіе поняття і позначення. 3. Фунція / / Математичний аналіз, частина I - М .: Наука, 1981. - С. 31. - 544 с.
  2. Г. Є. Шилов Глава 2. Елементи теорії множин. 2.8. Загальне поняття функції. Графік / / Математичний аналіз (функції одного змінного) - М .: Наука, 1969. - С. 69. - 528 с.
  3. 1 2 Іноді функція визначається без цієї умови. Наприклад кажуть, що f (x) = 1 / x є функція з \ R \ to \ R хоча значення f (x) не визначено при x = 0
  4. В. А. Ільїн , В. А. Садовничий , Бл.Х. Сенд . Глава 3. Теорія меж / / Математичний аналіз - sci-lib.com/book000401.html / Під ред. А. Н. Тихонова - 3-е изд. , Перераб. і доп. - М .: Проспект, 2006. - Т. 1. - С. 105-121. - 672 с. - ISBN 5-482-00445-7.

Література

  • Функція. Математичний енциклопедичний словник. - Гол. ред. Ю. В. Прохоров. - М.: "Велика російська енциклопедія", 1995.
  • Клейн Ф. Загальне поняття функції. В кн.: Елементарна математика з точки зору вищої. Т.1. М.-Л., 1933
  • І. А. Лавров , Л. Л. Максимова . Частина I. Теорія множин / / Реферати з теорії множин, математичної логіки та теорії алгоритмів - 3-е изд. . - М .: Физматлит, 1995. - С. 13 - 21. - 256 с. - ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров , С. В. Фомін . Глава 1 .. Елементи теорії множин / / Елементи теорії функцій і функціонального аналізу - 3-е изд. . - М .: Наука, 1972. - С. 14 - 18. - 256 с.
  • Дж. Л. Келлі Глава 0. Попередні відомості / / Загальна топологія - 2-е вид. . - М .: Наука, 1981. - С. 19 - 27. - 423 с.
  • В. А. Зорич Глава I. Деякі общематематіческіе поняття і позначення. 3. Фунція / / Математичний аналіз, частина I - М .: Наука, 1981. - С. 23 - 36. - 544 с.
  • Г. Є. Шилов Глава 2. Елементи теорії множин. 2.8. Загальне поняття функції. Графік / / Математичний аналіз (функції одного змінного) - М .: Наука, 1969. - С. 65 - 69. - 528 с.
  • А. Н. Колмогоров "Що таке функція" - kvant.mccme.ru/1970/01/chto_takoe_funkciya.htm / / "Квант". - М .: "Наука", 1970. - В. 1. - С. 27-36. - ISSN 0130-2221 -

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Математика
F4 (математика)
G2 (математика)
E6 (математика)
E8 (математика)
Монада (математика)
Варіація (математика)
Прапор (математика)
Норма (математика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru