Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Фізичний маятник



План:


Введення

Фізичний маятник - осцилятор, що представляє собою тверде тіло, яка вчиняє коливання в поле небудь сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної напрямку дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.


1. Визначення

  • \ Theta \, - Кут відхилення маятника від рівноваги;
  • \ Alpha \, - Початковий кут відхилення маятника;
  • m \, - Маса маятника;
  • h \, - Відстань від точки підвісу до центра ваги маятника;
  • r \, - Радіус інерції відносно осі, що проходить через центр ваги.
  • g \, - Прискорення вільного падіння.

Момент інерції відносно осі, що проходить через точку підвісу:

I = m \ left (r ^ 2 + h ^ 2 \ right) .

2. Диференціальне рівняння руху фізичного маятника

Нехтуючи опором середовища, диференціальне рівняння коливань фізичного маятника в полі сили тяжіння записується таким чином:

I \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} =-mgh \ sin \ theta .

Вважаючи \ Frac {r ^ 2} {h} + h = l , Попереднє рівняння можна переписати у вигляді:

l \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} =-g \ sin \ theta .

Останнє рівняння аналогічно рівнянню коливань математичного маятника довжиною l \, . Величина l \, називається наведеної довжиною фізичного маятника.


3. Центр гойдання фізичного маятника

Центр гойдання - точка, в якій треба зосередити всю масу фізичного маятника, щоб його період коливань не змінився.

Помістимо на луче, що проходить від точки підвісу через центр ваги точку на відстані l \, від точки підвісу. Ця точка і буде центром хитання маятника.

Дійсно, якщо всю масу зосередити в центрі хитання, то центр гойдання буде співпадати з центром мас. Тоді момент інерції відносно осі підвісу буде дорівнює I = ml ^ 2 \, , А момент сили тяжіння відносно тієї ж осі -Mgl \ sin \ theta \, . Легко помітити, що рівняння руху не зміниться.


3.1. Теорема Гюйгенса

3.1.1. Формулювання

Якщо фізичний маятник підвісити за центр гойдання, то його період коливань не зміниться, а колишня точка підвісу зробиться новим центром гойдання.

3.1.2. Доказ

Обчислимо приведену довжину для нового маятника:

l_1 = \ frac {r ^ 2} {r ^ 2 / h} + \ frac {r ^ 2} {h} = h + \ frac {r ^ 2} {h} = l .

Збіг наведених довжин для двох випадків і доводить твердження, зроблене в теоремі.

4. Період коливань фізичного маятника

Для того, щоб знайти період коливань фізичного маятника, необхідно вирішити рівняння гойдання. Для цього помножимо ліву частину цього рівняння на \ Frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} dt = d \ left (\ frac {d \ theta} {dt} \ right) , А праву частину на d \ theta \, . Тоді:

l \ frac {d \ theta} {dt} d \ left (\ frac {d \ theta} {dt} \ right) =-g \ sin \ theta \, d \ theta .

Інтегруючи це рівняння, отримуємо.

l \ left (\ frac {d \ theta} {dt} \ right) ^ 2 = 2g \ cos \ theta + C ,

де C \, довільна стала. Її можна знайти з граничної умови, що в моменти \ Theta = \ pm \ alpha \, \, \,, \ frac {d \ theta} {dt} = 0 . Отримуємо: C =-2g \ cos \ alpha \, . Підставляємо і перетворюємо вийшло рівняння:

\ Frac {d \ theta} {dt} = 2 \ sqrt {\ frac {g} {l}} \ sqrt {\ sin ^ 2 \ frac {\ alpha} {2} - \ sin ^ 2 \ frac {\ theta } {2}} .

Відокремлюємо змінні та інтегруємо це рівняння:

\ Sqrt {\ frac {g} {l}} t = .

Зручно зробити заміну змінної, вважаючи \ Sin \ frac {\ theta} {2} = \ sin \ frac {\ alpha} {2} \ sin \ varphi . Тоді шукане рівняння приймає вигляд:

t = \ sqrt \ frac {l} {g} \ int \ limits_0 ^ \ varphi {\ frac {d \ varphi} {\ sqrt {1 - \ sin ^ 2 \ frac {\ alpha} {2} \ sin ^ 2 \ varphi}}} = \ sqrt \ frac {l} {g} F \ left (\ varphi \ setminus \ alpha / 2 \ right) .

Тут F \ left (\ varphi \ setminus \ alpha \ right) - нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Для періоду коливань отримуємо формулу:

T = = 4 \ sqrt \ frac {l} {g} \, K \ left (\ sin \ frac {\ alpha} {2} \ right) .

Тут K \ left (\ sin \ frac {\ alpha} {2} \ right) - повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Розкладаючи його в ряд, можна отримати зручну для практичних обчислень формулу:

T = 2 \ pi \ sqrt \ frac {l} {g} \ left \ {1 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 \ sin ^ {2} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ left (\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right) ^ 2 \ sin ^ {4} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ dots + \ left [\ frac {\ left (2n - 1 \ right)!!} {\ left (2n \ right)!!} \ right] ^ 2 \ sin ^ {2n} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ dots \ right \} .

4.1. Період малих коливань фізичного маятника

Якщо амплітуда коливань \ Alpha \, мала, то корінь в знаменнику еліптичного інтегралу наближено дорівнює одиниці. Такий інтеграл легко береться, і виходить добре відома формула малих коливань:

T = 2 \ pi \ sqrt \ frac {l} {g} = 2 \ pi \ sqrt \ frac {I} {mgh} .

Ця формула дає результати прийнятної точності (помилка менше 1%) при кутах, що не перевищують 4 .

Наступний порядок наближення можна використовувати з прийнятною точністю (помилка менше 1%) при кутах до 1 радіана (≈ 60 )

T \ approx 2 \ pi \ sqrt \ frac {l} {g} \ left (1 + \ frac {1} {4} \ sin ^ {2} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) \ right) .



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Маятник
Крутильних маятник
Маятник Фуко
Математичний маятник
Пружинний маятник
Маятник Капіци
Маятник Фуко (роман)
Фізичний процесор
Фізичний факультет
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru