Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Фінслерових геометрія



План:


Введення

Фінслерових геометрія - одне з узагальнень ріманової геометрії. У фінслерових геометрії розглядаються різноманіття з фінслерових метрикою; тобто вибором гладкою норми на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.


1. Основні поняття

Нехай M n - n -Мірне зв'язне C ^ {\ infty} - різноманіття. Позначимо через T M n дотичне розшарування M n . Тоді фінслерових метрикою на M n називається функція F \ colon TM ^ n \ rightarrow [0, \ infty) , Що задовольняє властивостям:

  1. F \ in C ^ {\ infty} (TM ^ n \ setminus \ {0 \}) ;
  2. F позитивно однорідна першого ступеня, тобто для будь-якої пари (X, y) \ in TM ^ n і числа λ> 0 ,
    \ F (x, \ lambda y) = \ lambda F (x, y) ;
  3. Для будь-якої пари (X, y) \ in TM ^ n билинейная форма \ Mathbf {g} _y \ colon T_x M ^ n \ times T_x M ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} ,
    \ Mathbf {g} _y (u, v) = \ frac {1} {2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t \, \ partial s} \ lbrack F ^ 2 (x, y + su + tv) \ rbrack | _ {s = t = 0}

позитивно визначена.

Якщо покласти g_ {ij} (x, y) = \ frac {1} {2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ i \ partial y ^ j} [F ^ 2 (x, y)] , То форму \ Mathbf {g} _y (u, v) можна переписати у вигляді \ Mathbf {g} _y (u, v) = g_ {ij} (x, y) u ^ iv ^ j

Для будь-якого ненульового векторного поля Y , Визначеного на U \ subset M ^ n , \ Mathbf {g} _Y (u, v) є ріманова метрика на U .

Для гладкої кривої c: [a, b] \ rightarrow M ^ n , На різноманітті M n , З фінслерових метрикою F , Довжина визначається інтегралом L_F (c) = \ int_a ^ b F (c (t), \ dot {c} (t)) dt

Оператор коваріантного диференціювання Черна (або Рунду) \ Nabla: T_xM ^ n \ times \ Gamma ^ \ infty (TM ^ n) \ rightarrow T_xM ^ n визначається як \ Nabla_yU: = \ {dU ^ i (y) + U ^ jN_j ^ i (x, y) \} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | _x, де y \ in T_xM ^ n , U \ in \ Gamma ^ \ infty (TM ^ n) і N ^ i_j (x, y) = \ frac {\ partial} {\ partial y ^ j} \ left [\ frac {1} {4} g ^ {il} (x, y) \ left \ {2 \ frac {\ partial g_ {ml}} {\ partial x ^ k} (x, y) - \ frac {\ partial g_ {mk}} {\ partial x ^ l} ​​(x, y) \ right \} y ^ my ^ k \ right].

Введена таким чином зв'язність на різноманітті не є, взагалі кажучи, афинной зв'язністю. Зв'язність буде афинной в тому і тільки в тому випадку, коли фінслерових метрика буде метрикою Бервальде. За визначенням це означає що рівняння геодезичних мають такий же вигляд, як і в ріманової геометрії, або геодезичні коефіцієнти

G ^ i (x, y) = \ frac {1} {4} g ^ {il} (x, y) \ left \ {2 \ frac {\ partial g_ {jl}} {\ partial x ^ k} ( x, y) - \ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ l} ​​(x, y) \ right \} y ^ jy ^ k представимо у вигляді G ^ i (x, y) = \ Gamma ^ i_ {jk} (x) y ^ j y ^ k.

Для вектора y \ in T_xM ^ n \ backslash \ {0 \} розглянемо функції R_k ^ i (y) = 2 \ frac {\ partial G ^ i} {\ partial x ^ k} - \ frac {\ partial ^ 2 G ^ i} {\ partial x ^ j \ partial y ^ k} y ^ j +2 G ^ j \ frac {\ partial ^ 2G ^ i} {\ partial y ^ j \ partial y ^ k} - \ frac {\ partial G ^ i} {\ partial y ^ j} \ frac {\ partial G ^ j} {\ partial y ^ k} Тоді сімейство перетворень \ Mathbf {R} = \ left \ {\ mathbf {R} _y = R_k ^ i (y) \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ otimes dx ^ k | _x: T_xM ^ n \ rightarrow T_xM ^ n, y \ in T_xM ^ n \ backslash \ {0 \}, x \ in M ​​^ n \ right \} називається ріманової кривизною. Нехай P \ subset T_xM ^ n дотична 2-мірна площину. Для вектора y \ in P \ backslash \ {0 \} , Визначимо де u \ in P такий вектор, що P = span {y, u} . K (P, y) не залежить від вибору u \ in P . Число K (P, y) називається флагової кривизною прапора (P, y) в T x M n .


2. Історія

Систематичне вивчення різноманіть з такою метрикою почалося з дисертації Пауля Фінслера, що побачила світ в 1918 р., і тому назва таких метричних просторів тепер пов'язують з його ім'ям. Фактором, що поклав початок дослідницької діяльності в цьому напрямку, слід, мабуть, вважати введення Каратеодорі нових геометричних методів в варіаційне числення для вивчення задач в параметричній формі. Ядром цих методів є поняття індикатриси, причому властивість опуклості індикатриси грає в цих методах важливу роль, оскільки воно забезпечує виконання необхідних умов мінімуму в варіаційної задачі для стаціонарних кривих. Саме тому дисертація Фінслера повинна розглядатися як перший крок у цьому напрямку.

Кількома роками пізніше в загальному розвитку фінслерових геометрії відбувається цікавий поворот від початкової точки зору Фінслера до нових теоретичних методів. Фінслер, керуючись в основному поняттями варіаційного обчислення, не використовував методів тензорного аналізу. У 1925 тензорний аналіз був застосований до теорії майже одночасно Сінго, Тейлором і Бервальде.

Новий поворот у розвитку теорії стався в 1934 р., коли Елі Картан опублікував свій трактат про фінслерових просторах. Картановскій підхід переважав практично у всіх наступних дослідженнях геометрії фінслерових просторів, і кілька математиків висловили думку, що в результаті теорія досягла своєї остаточної форми. Ця думка, однак, було правильно тільки до певної міри. Метод Картана вів до розвитку фінслерових геометрії шляхом прямого розвитку методів ріманової геометрії.

Критику методів Картана незалежно один від одного висловили кілька дослідників, зокрема Вагнер, Буземан і Рунду. Ними було підкреслено, що природною локальної метрикою фінслерових простору є метрика Мінковського, тоді як довільне накладення евклідової метрики затемнює ряд найбільш цікавих характеристик фінслерових просторів. З цих причин на початку 50-х років були висунуті подальші теорії. У результаті цього помітно збільшилися аналітичні труднощі. Буземан навіть сказав з цього приводу, що "фінслерових геометрія з боку являє собою ліс, в якому вся рослинність складається з тензорів ".

В даний час значний внесок у розвиток фінслерових геометрії вносить американський математик Шен ( англ. Z. Shen ). Він написав ряд книг і статей, завдяки яким, вивчення фінслерових геометрії стає доступним широкому колу математиків.


3. Варіації і узагальнення

4. Зовнішні посилання

Література

  • Х. Рунду Диференціальна геометрія фінслерових просторів, - М .: "Наука", 1981.
  • D. Bao, SS Chern and Z. Shen An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, - Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X.
  • S. Chern Finsler geometry is just the Riemannian geometry without the quadratic restriction, - Notices AMS, 43 (1996), pp. 959-63.
  • H. Rund The Differential Geometry of Finsler Spaces, - Springer-Verlag, 1959. ASIN B0006AWABG.
  • Z. Shen Lectures on Finsler Geometry, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9.
  • П. К. Рашевський поліметричних геометрія, - Праці семінару з векторного і тензорного аналізу з їх додатками до геометрії, механіці і фізиці. Випуск 5. ОГИЗ, 1941

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Геометрія
Градус (геометрія)
Дефект (геометрія)
Кінцева геометрія
Замикання (геометрія)
Кільце (геометрія)
Тіло (геометрія)
Хорда (геометрія)
Геометрія Рімана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru