Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Хвильова функція



План:


Введення

Хвильова функція, або псі-функція \ Psi \, - комплекснозначних функція, яка використовується в квантової механіки для опису чистого стану системи. Є коефіцієнтом розкладання вектора стану по базису (зазвичай координатного):

\ Left | \ psi (t) \ right \ rangle = \ int \ Psi (x, t) \ left | x \ right \ rangle dx

де \ Left | x \ right \ rangle = \ left | x_1, x_2, \ ldots, x_n \ right \ rangle - Координатний базисний вектор, а \ Psi (x, t) = \ langle x \ left | \ psi (t) \ right \ rangle - Хвильова функція в координатному представленні.

Фізичний сенс хвильової функції полягає в тому, що згідно копенгагенської інтерпретації квантової механіки щільність ймовірності знаходження частинки в даній точці простору в даний момент часу вважається рівною квадрату абсолютного значення хвильової функції цього стану в координатному представленні.


1. Фізичний сенс хвильової функції

В координатному представленні хвильова функція \! \ Psi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, t) залежить від координат (або узагальнених координат) системи. Фізичний сенс приписується квадрату її модуля \! \ Left | \ Psi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, t) \ right | ^ 2 , Який інтерпретується як щільність ймовірності ~ \ Omega (Для дискретних спектрів - просто ймовірність) виявити систему в положенні, описуваному координатами \! x_1 = x_ {01}, x_2 = x_ {02}, \ ldots, x_n = x_ {0n} в момент часу ~ T :

~ \ Omega = \ frac {dP} {dV} = \ left | \ Psi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, t) \ right | ^ 2 = \ Psi ^ \ ast \ Psi .

Тоді в заданому квантовому стані системи, описуваному хвильовою функцією \! \ Psi (x_1, x_2, \ ldots, x_n, t) , Можна розрахувати ймовірність ~ P того, що частка буде виявлена ​​в будь-якій області простору кінцевого обсягу ~ V : P = {\ int {dP}} = {\ int \ limits_ {V} {\ omega} dV} = {\ int \ limits_ {V} {\ Psi ^ \ ast \ Psi} dV}~ (1) .

Слід також зазначити, що можливо вимірювання і різниці фаз хвильової функції, наприклад, в досвіді Ааронового - Бома.


2. Хвильова функція в різних уявленнях

Набір координат, які виступають в ролі аргументів функції, є повну систему комутуючих спостережуваних. У квантовій механіці можливо вибрати кілька повних наборів спостережуваних, тому хвильова функція одного і того ж стану може бути записана від різних аргументів. Обраний для запису хвильової функції повний набір величин визначає уявлення хвильової функції. Так, можливі координатне представлення, імпульсне уявлення, в квантової теорії поля використовується вторинне квантування та подання чисел заповнення або подання Фока та ін

Якщо хвильова функція, наприклад, електрона в атомі, задана в координатному представленні, то квадрат модуля хвильової функції є щільність ймовірності виявити електрон в тій чи іншій точці простору. Якщо ця ж хвильова функція задана в імпульсному представленні, то квадрат її модуля є щільність ймовірності виявити той чи інший імпульс.


3. Принцип суперпозиції квантових станів

Для хвильових функцій справедливий принцип суперпозиції, що полягає в тому, що якщо система може перебувати в станах, описуваних хвильовими функціями \! \ Psi_1 і \! \ Psi_2 , То вона може перебувати і в стані, описуваному хвильовою функцією

\! \ Psi_ \ Sigma = c_1 \ Psi_1 + c_2 \ Psi_2 при будь-яких комплексних \! c_1 і \! c_2 .

Очевидно, що можна говорити і про суперпозицію (складання) будь-якого числа квантових станів, тобто про існування квантового стану системи, що описується хвильовою функцією \! \ Psi_ \ Sigma = c_1 \ Psi_1 + c_2 \ Psi_2 + \ ldots + {c} _N {\ Psi} _N = \ sum_ {n = 1} ^ {N} {c} _n {\ Psi} _n .

У такому стані квадрат модуля коефіцієнта ~ {C} _n визначає ймовірність того, що при вимірюванні система буде виявлена ​​в стані, описуваному хвильовою функцією ~ {\ Psi} _n .

Тому для нормованих хвильових функцій ~ \ Sum_ {n = 1} ^ {N} \ left | c_ {n} \ right | ^ 2 = 1 .


4. Умови регулярності хвильової функції

Імовірнісний сенс хвильової функції накладає певні обмеження, або умови, на хвильові функції в задачах квантової механіки. Ці стандартні умови часто називають умовами регулярності хвильової функції.

  1. Умова кінцівки хвильової функції. Хвильова функція не може приймати нескінченних значень, таких, що інтеграл ~ (1) стане розбіжним. Отже, ця умова вимагає, щоб хвильова функція була квадратично інтегрованою функцією. Зокрема, в задачах з нормованою хвильовою функцією квадрат модуля хвильової функції повинен прагнути до нуля на нескінченності.
  2. Умова однозначності хвильової функції. Хвильова функція повинна бути однозначною функцією координат і часу, так як щільність ймовірності виявлення частки повинна визначатися в кожному завданню однозначно. У завданнях з використанням циліндричної або сферичної системи координат умова однозначності призводить до періодичності хвильових функцій з кутовим змінним.
  3. Умова неперервності хвильової функції. У будь-який момент часу хвильова функція повинна бути безперервною функцією просторових координат. Крім того, безперервними повинні бути також приватні похідні хвильової функції ~ \ Frac {\ partial \ Psi} {\ partial x} , ~ \ Frac {\ partial \ Psi} {\ partial y} , ~ \ Frac {\ partial \ Psi} {\ partial z} . Ці приватні похідні функцій лише в рідкісних випадках завдань з ідеалізованими силовими полями можуть терпіти розрив у тих точках простору, де потенційна енергія, що описує силове поле, в якому рухається частка, відчуває розрив другого роду.

5. Нормированность хвильової функції

Хвильова функція \! \ Psi за своїм змістом повинна задовольняти так званому умові нормування, наприклад, в координатному представленні має вигляд:

{\ Iiint \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {| \ Psi |} ^ 2 dx \, dy \, dz} = 1


Ця умова виражає той факт, що ймовірність знайти частку з цієї хвильової функції будь-де у всьому просторі дорівнює одиниці. У загальному випадку інтегрування повинно проводитися по всім змінним, від яких залежить хвильова функція в цьому поданні.


6. Матрична і векторна формулювання

Хвильова функція одного і того ж стану в різних уявленнях - буде відповідати висловом одного і того ж вектора в різних системах координат. Інші операції з хвильовими функціями так само будуть мати аналоги мовою векторів. У хвильової механіки використовується уявлення, де аргументами псі-функції є повна система безперервних комутуючих спостережуваних, а в матричної використовується уявлення, де аргументами псі-функції є повна система дискретних комутуючих спостережуваних. Тому функціональна (хвильова) і матрична формулювання очевидно математично еквівалентні.


7. Філософський сенс хвильової функції

Хвильова функція являє собою метод опису чистого стану квантовомеханічної системи. Змішані квантові стани (в квантової статистики) слід описувати оператором типу матриці щільності. Тобто, якась узагальнена функція від двох аргументів повинна описати кореляцію перебування частки в двох точках.

Слід розуміти, що проблема, яку вирішує квантова механіка, - це проблема самої суті наукового методу пізнання світу. Якщо уявити собі більярдний стіл, вкритий непроникною кришкою, і єдиним способом дослідження питання, чи є на ньому більярдні кулі, припустити закочування в стіл інших куль, то ми і отримуємо ту саму проблему, для вирішення якої залучено метод квантової механіки. Поки вкинутий куля проходить крізь стіл без зміни траєкторії, передбачувано, ми можемо зробити висновок про те, що на траєкторії кулі інших куль немає. Якщо в результаті взаємодії куль на столі ми отримуємо викотився кілька куль з різними кінцевими імпульсами і точками, в яких кулі покинули стіл, то ми можемо лише припускати про те, яким чином відбувалося взаємодія в системі. Якщо ж лузи в більярдному столі обмежують можливість куль залишати стіл (енергетичний бар'єр), то система заплутується ще більше. Подібний приклад з більярдом дуже наочно демонструє ті труднощі, з якими стикаються дослідники, розробляючи інструменти квантової механіки.


Література

  • Фізичний енциклопедичний словарь. / Гол. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексєєв, А. М. Бонч-Бруєвич, А. С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. Енциклопедія, 1984. - 944 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Хвильова поверхня
Хвильова електростанція
Хвильова оптика
Хвильова теорія світла
Хвильова оптика в природі
Хвильова теорія Елліотта
θ-функція
Функція
R-функція
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru