Хі-функція Лежандра - це спеціальна функція, названа по імені французького математика Адрієн Марі Лежандра. Хі-функція Лежандра визначається рядом Тейлора також є поруч Діріхле :

\ Chi_ \ nu (z) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ {2k +1}} {(2k +1) ^ \ nu}.

Таким чином Хі-функція Лежандра тривіально виражається через полілогаріфм :

\ Chi_ \ nu (z) = \ frac {1} {2} \ left [\ operatorname {Li} _ \ nu (z) - \ operatorname {Li} _ \ nu (-z) \ right]

Хі-функція Лежандра виникає в дискретному перетворенні Фур'є, за індексом ν дзета-функції Гурвіца, а також многочленів Ейлера.

Хі-функція Лежандра є окремим випадком дзета-функції Лерхе (англ.):

\ Chi_n (z) = 2 ^ {-n} z \, \ Phi (z ^ 2, n, 1/2). \,

Література