Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Центральне різноманіття



План:


Введення

Центральне різноманіття особливої ​​точки автономного звичайного диференціального рівняння - інваріантне різноманіття в фазовому просторі, що проходить через особливу точку і що стосується інваріантного центрального підпростори лінеаризації диференціального рівняння. [1] Важливий об'єкт вивчення теорії диференціальних рівнянь і динамічних систем. У певному сенсі, вся нетривіальна динаміка системи в околиці особливої ​​точки зосереджена на центральному різноманітті. [2]


1. Формальне визначення

Розглянемо автономне диференціальне рівняння з особливою точкою 0:

\ Dot x = Ax + f (x), \ quad (*)

де x \ in \ mathbb R ^ n , A - Лінійний оператор, f (x) - Гладка функція класу C ^ {k +1} , Причому f (0) = 0 і Df (0) = 0 . Іншими словами, Ax - лінеаризація векторного поля в особливій точці 0.

Згідно класичним результатами лінійної алгебри, лінійний простір розкладається в пряму суму трьох A -Інваріантних підпросторів \ Mathbb R ^ n = T ^ s \ oplus T ^ u \ oplus T ^ c , Де T ^ s, T ^ u, T ^ c визначаються знаком дійсної частини відповідних власних значень (див. табл.)

підпростір назву спектр A
T ^ s стійке (stable) \ Operatorname {Re} \ lambda <0
T ^ u нестійке (unstable) \ Operatorname {Re} \ lambda> 0
T ^ c центральне (center) \ Operatorname {Re} \ lambda = 0

Ці підпростори є інваріантними різноманіття лінеаризовані системи \ Dot x = Ax , Рішенням якої є матрична експонента x (t) = e ^ {At} x_0 . Виявляється, динаміка системи в околиці особливої ​​точки за своїми властивостями близька до динаміки лінеаризовані системи. Точніше, справедливо наступне твердження: [3]

Теорема (Про центральному різноманітті). В околиці особливої ​​точки існують різноманіття W ^ s, W ^ u і W ^ c класів C ^ {k +1}, C ^ {k +1} і C ^ k відповідно, інваріантні щодо фазового потоку диференціального рівняння. Вони стосуються в початку координат підпросторів T ^ s, T ^ u і T ^ c і відповідно.

Стійкий і нестійкий інваріантні різноманіття називаються також гіперболічними, вони визначаються єдиним чином; в той же час, локальне центральне різноманіття визначається не єдиним чином. Очевидно, що якщо система (*) лінійна, то інваріантні різноманіття співпадають з відповідними інваріантними підпросторами оператора A .


1.1. Приклад: седлоузел

Фазовий портрет седлоузловой особливої ​​точки. Червоним виділено одне з можливих локальних центральних багатовидів

Невироджені особливі точки на площині не мають центрального різноманіття. Розглянемо найпростіший приклад виродженої особливої ​​точки: седлоузел виду

\ Begin {cases} \ dot x = x ^ 2 \ \ \ dot y = y \ end {cases}

Його нестійке різноманіття збігається з віссю Oy і складається з двох вертикальних сепаратріси \ {X = 0, y> 0 \} і x = 0, y <0 і самої особливої ​​точки. Решта фазові криві задаються рівнянням

y (x) = y_0 \ exp \ left (\ frac {1} {x_0} - \ frac {1} {x} \ right) ,

де y (x_0) = y_0 .

Неважко бачити, що в лівій півплощині єдина фазова крива, яка прагне до особливій точці, збігається з променем осі Ox \ {X <0, y = 0 \} . У той же час, в правій півплощині існує нескінченно багато ( континуум) фазових кривих, що прагнуть до нуля - це графіки функції y (x) для будь-якого x_0> 0 і будь-якого y_0 . У силу того, що функція y (x) є плоскою в нулі, ми можемо скласти гладке інваріантне різноманіття з променя \ {X <0, y = 0 \} , Точки (0, 0) і будь-якої траєкторії в правій півплощині. Будь-яке з них локально буде центральним різноманіттям точки (0, 0). [4]


2. Глобальні центральні різноманіття

Якщо розглядати рівняння (*) не в деякій околиці особливої ​​точки 0, а у всьому фазовому просторі \ Mathbb R ^ n , Можна дати визначення глобального центрального різноманіття. Неформально кажучи, його можна визначити як інваріантне різноманіття, траєкторії на якому не прагнуть до нескінченності (у прямому або зворотному часу) уздовж гіперболічних напрямків. Зокрема, глобальне центральне різноманіття містить всі обмежені траєкторії (а значить, і все граничні цикли, особливі точки, сепаратрісние зв'язування і т.д.) [5]

Розглянемо проекції \ Pi_s, \ \ pi_u, \ pi_c простору \ Mathbb R ^ n на відповідні інваріантні підпростори оператора A . Визначимо також підпростір T ^ h = T ^ u \ oplus T ^ s і проекцію \ Pi_h на нього. Центральним різноманіттям W ^ c називається множина таких точок x фазового простору, що проекція траєкторій, що стартують з x , На гіперболічної підпростір, обмежена. Іншими словами

W ^ c: = \ left \ {x \ in \ mathbb R ^ n: \ sup_ {t \ in \ mathbb R} | \ pi_h (\ tilde x (t, x)) | <\ infty \ right \} ,

де \ Tilde x (t, x) - Таке рішення рівняння (*), що \ Tilde x (0, x) = x . [6]

Для існування глобального центрального різноманіття на функцію f (x) необхідно накласти додаткові умови: обмеженість і ліпшіцевость з досить малою константою Ліпшиця. У цьому випадку глобальне центральне різноманіття існує, само є ліпшіцевим подмногообразіем в \ Mathbb R ^ n і визначено єдиним чином. [6] Якщо зажадати від f (x) гладкості порядку k і малості похідної, то глобальне центральне різноманіття буде мати гладкість порядку k і стосуватися центрального інваріантного підпростору T ^ c в особливій точці 0. З цього випливає, що якщо розглядати обмеження глобального центрального різноманіття на малу околицю особливої ​​точки, то воно буде локальним центральним різноманіттям - це один із способів докази його існування. Навіть якщо система (*) не задовольняє умовам існування глобального центрального різноманіття, її можна модифікувати поза якоюсь околиці нуля (домножити на відповідну гладку зрізати функцію типу "шапочка"), так, щоб ці умови стали виконуватися, і розглянути обмеження наявного у модифікованій системи глобального центрального різноманіття. Виявляється, можна сформулювати і зворотне твердження: можна глобалізувати локально задану систему і продовжити локальне центральне різноманіття до глобального. [7] Точніше, це твердження формулюється наступним чином: [8]

Теорема. Нехай f \ in C ^ k (\ mathbb R ^ n) , k \ ge 1 , f (0) = 0 , Df (0) = 0 і W ^ c - Локальне центральне різноманіття (*). Знайдеться така мала околиця нуля \ Omega і така обмежена на всьому просторі функція \ Tilde f (x) , Що збігається з f (x) в \ Omega , Що рівняння (*) для функції \ Tilde f має гладке глобальне центральне різноманіття, що збігається в області \ Omega з W ^ c

Слід зазначити, що перехід від локальних завдань до глобальних і навпаки часто використовується при доказі тверджень, пов'язаних з центральними різноманітті.


3. Принцип відомості

Як було сказано вище, нетривіальна динаміка поблизу особливої ​​точки "зосереджена" на центральному різноманітті. Якщо особлива точка гіперболічна (тобто лінеаризація не містить власних значень з нульовою речовій частиною), то центрального різноманіття у неї немає. У цьому випадку, згідно теоремі Гробмана-Хартмана, векторне поле орбітально-топологічно еквівалентно своєї лінеаризації, тобто з топологічної точки зору динаміка нелінійної системи повністю визначається лінеаризацією. У разі негіперболіческой особливої ​​точки топологія фазового потоку визначається лінійною частиною і обмеженням потоку на центральне різноманіття. Це твердження, зване принципом відомості, формулюється таким чином: [9]

Теорема (А. Н. Шошітайшвілі, 1975 [10]). Нелінійна системи в околиці негіперболіческой особливої ​​точки орбітально-топологічно еквівалентна добутку стандартного сідла і обмеженню поля на центральне різноманіття:

\ Begin {cases} \ dot x = w (x) \ \ \ dot y =-y \ \ \ dot z = z, \ end {cases} \ quad x \ in W ^ c, \ y \ in T ^ s , \ z \ in T ^ u


4. Виноски

  1. Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5 , C. 13
  2. Ілляшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальні біфуркації. - М .: МЦНМО-ЧеРо, 1999. - 416 с. - ISBN 5-900916-34-0 , Глава 1, п. 2.3
  3. Ілляшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальні біфуркації. - М .: МЦНМО-ЧеРо, 1999. - 416 с. - ISBN 5-900916-34-0 , Глава 1, пункт 2.2
  4. Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - С. 37. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5
  5. Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - С. 14. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5
  6. 1 2 Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - С. 16. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5
  7. Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - С. 36. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5
  8. Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - С. 38. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5
  9. Ілляшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальні біфуркації. - М .: МЦНМО-ЧеРо, 1999. - 416 с. - ISBN 5-900916-34-0 , Див. також Д. Ван, Ч. Лі, Ш.-Н. Чоу. Нормальні форми і біфуркації векторних полів на площині. - М .: МЦНМО, 2005. - С. 406. - 416 с. - ISBN 5-94057-206-5
  10. Шошітайшвілі А. Н. Біфуркації топологічного типу векторного поля поблизу особливої ​​точки. / / Тр. семінарів ім. І. Г. Петровського. - 1975. - № вип 1 .. - С. 279-309.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Центральне телебачення
Центральне статистичне управління
Центральне Конго (провінція)
Центральне бюро розслідувань
Центральне телебачення Держтелерадіо СРСР
Центральне духовне управління мусульман Росії
Центральне командування збройних сил США
Різноманіття
Ріманова різноманіття
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru