Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ціла функція



План:


Введення

Ціла функція - функція, голоморфних у всій комплексній площині. Типовим прикладом цілої функції може служити многочлен або експонента, а також суми, добутку та суперпозиції цих функцій. Ряд Тейлора цілої функції сходиться у всій площині комплексного змінного. Логарифм, квадратний корінь не є цілими функціями.

Відзначимо, що ціла функція може мати особливість (в т.ч. навіть істотну особливість) в нескінченності. Як випливає з теореми Ліувілля, функція, яка не має особливих точок на всій розширеної комплексної площини, повинна бути постійною (це властивість може бути використано для елегантного докази основної теореми алгебри).

Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами (зокрема, тотожно постійними) мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.

Мала теорема Пікара значно посилює теорему Ліувілля: не рівна тотожно постійної ціла функція приймає всі комплексні значення, крім, можливо, одного. Прикладом є експоненціальна функція, що приймає в якості значень все комплексні числа, крім нуля.

Дж. Літлвуд в одній зі своїх книг вказує сигма-функцію Вейєрштрасса в якості "типового" прикладу цілої функції.


1. Випадок декількох комплексних змінних

Ціла функція може розглядатися в \ C ^ n . нехай k - Мультііндекс, z \ in \ C ^ n

Поняття збіжності ряду

\ Sum_ {| k | = 0} ^ \ infty a_kz ^ k (*)

залежить від способу нумерації членів, тому говорячи про збіжність цього ряду мається на увазі абсолютна збіжність : \ Sum_ {| k | = 0} ^ \ infty | a_k | | z ^ k | <\ infty

Таким чином, якщо ряд (*) сходиться в \ C ^ n , То функція, представимо цим поруч, називається цілою.


2. Розкладання в нескінченне твір

Подібно до того, як мероморфних функції можуть розглядатися в якості узагальнення раціональних дробів, цілі функції можна розглядати як узагальнення многочленів. Зокрема, якщо для мероморфних функцій можна узагальнити розкладання на найпростіші дроби ( теорема Міттаг-Лефлера про розкладання мероморфних функції), то для цілих функцій існує узагальнення розкладання на множники - теорема Вейєрштрасса про цілих функціях.


3. Простір цілих функцій

Всі цілі функції утворюють лінійний простір. Простір цілих функцій позначають як E (Від слова entire) і E_n для випадку C ^ n .

(У більш новій літературі простір цілих функцій позначається H )

4. Порядок цілої функції

Нехай M (r) = \ max_ {| z | = r} \ left | f (z) \ right |

Ціла функція f (x) називається цілою функцією кінцевого порядку, якщо існує \ Mu> 0 таке, що виконується асимптотичне нерівність M (r) <\ exp (r ^ \ mu) (*)

Порядок цілої функції f (z) - Це число \ Rho \ geq 0:\ Rho = \ inf \ left \ {\ mu \ right \}

Для цілої функції, що володіє кінцевим порядком p і родом q справедливо наступне співвідношення: p \ le q \ le p +1 . Насправді, з кінцівки однієї їх характеристик слід кінцівку другої.


5. Тип цілої функції

Ціла функція f (z) має кінцевий тип при порядку \ Rho , Якщо \ Exists a> 0 , Що

M (r) <_ {ac.} E ^ {ar ^ \ rho}

Тип цілої функції f (z) при порядку \ Rho - Це число \ Sigma \ geq 0 :

\ Sigma = \ inf \ left \ {a> 0: M (r) <_ {ac.} E ^ {ar ^ \ rho} \ right \}

з визначення випливає що:

\ Sigma = \ limsup_ {r \ rightarrow \ infty} \ frac {\ ln (M (r))} {r ^ \ rho}.
  1. Якщо для даного 0 <\ rho <\ infty тип f (z) нескінченний, то говорять, що f (z) максимального типу.
  2. Якщо 0 <\ sigma <\ infty , То f (z) - Нормального типу.
  3. Якщо \ Sigma = 0 , То f (z) - Мінімального типу.

6. Ціла функція експоненціального типу

Ціла функція порядку \ Rho = 1 і нормального типу називається цілою функцією експоненціального типу.

Простір ц.ф.е.т. часто позначають як P .

6.1. Функція, асоційована з Бореля

Нехай ц.ф.е.т. представляється у вигляді:

f (z) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {a_k} {k!} z ^ k

Кожній ц.ф.е.т. ставиться у відповідність функція:

\ Gamma (t) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {a_k} {t ^ {k +1}}

функцію \ Gamma (z) називають асоційованої з Бореля. Цей ряд сходиться при | T |> \ sigma , А на кордоні є, щонайменше, одна особливість функції \ Gamma (t)


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
R-функція
Функція
θ-функція
Функція Аккермана
Функція Уолша
Сингулярна функція
Атомарна функція
Проста функція
Фінітних функція
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru