Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ціле число



План:


Введення

Безліч цілих чисел (від ср.-лат. cifra від араб. صفر (Ṣifr) "порожній, нуль") - \ Mathbb {Z} = \ {\ dots, -2, -1,0,1,2, \ dots \} , Визначається як замикання безлічі натуральних чисел \ Mathbb {N} щодо арифметичних операцій складання (+) і віднімання (-). Таким чином, сума, різниця і добуток двох цілих чисел дає знову цілі числа. Воно складається з натуральних чисел (1, 2, 3), чисел виду-n ( n \ in \ mathbb {N} ) І числа нуль.

Необхідність розгляду цілих чисел продиктована неможливістю (у загальному випадку) відняти від одного натурального числа інше. Цілі числа є кільцем щодо операцій додавання і множення.

Негативні числа ввели в математичний побут Міхаель Штіфель ( 1487 - 1567) у книзі "Повна арифметика" (1544), і Ніколя Шюке ( 1445 - 1500).


1. Алгебраїчні властивості

\ Mathbb {Z} не замкнуто щодо ділення двох цілих чисел (наприклад, 1 / 2). Наступна таблиця ілюструє декілька основних властивостей додавання і множення для будь-яких цілих a, b і c.

складання множення
замкнутість : a + b - ціле a b - ціле
асоціативність : a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c
комутативність : a + b = b + a a b = b a
існування нейтрального елемента : a + 0 = a a 1 = a
існування протилежного елементу : a + (- a) = 0 a ≠ 1 ⇒ 1 / a не є цілим
дистрибутивність множення відносно додавання: a (b + c) = (a b) + (a c)

Мовою абстрактної алгебри перші п'ять перерахованих вище властивостей складання говорять про те, що \ Mathbb {Z} є абелевих групою щодо бінарної операції додавання, і, отже, також циклічної групою, так як кожен ненульовий елемент \ Mathbb {Z} може бути записаний у вигляді кінцевої суми 1 + 1 + ... 1 або (-1) + (-1) + ... + (-1). Фактично, \ Mathbb {Z} є єдиною нескінченної циклічної групою по додаванню в силу того, що будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна групі (\ Mathbb {Z}, +) .

Перші чотири властивості множення говорять про те, що \ Mathbb {Z} - Комутативних моноід по множенню. Проте варто зауважити, що не кожне ціле має протилежне по множенню, наприклад, немає такого x з \ Mathbb {Z} , Що 2x = 1, тому що ліва частина рівняння парна, а права непарна. З цього випливає, що \ Mathbb {Z} не є групою по множенню, а також не є полем. Найменша поле з цілі числа, - безліч раціональних чисел ( \ Mathbb {Q} ).

Сукупність усіх властивостей таблиці означає, що \ Mathbb {Z} є комутативних кільцем з одиницею щодо складання і множення.

Звичайне поділ не визначено на множині цілих чисел, але визначено так зване ділення з залишком: для будь-яких цілих a і b, b \ not = 0 , Існує єдиний набір цілих чисел q і r, що a = bq + r і 0 \ le r <| b | , Де | b | - абсолютна величина (модуль) числа b. Тут a - ділене, b - дільник, q - приватне, r - залишок. На цій операції заснований алгоритм Евкліда знаходження найбільшого загального дільника двох цілих чисел.


2. Теоретико-множинні властивості

\ Mathbb {Z} - лінійно упорядкований безліч без верхньої і нижньої меж. Порядок в ньому задається співвідношеннями:

... <-2 <-1 <0 <1 <2 <...

Ціле число називається позитивним, якщо воно більше нуля, негативним, якщо менше нуля. Нуль не є позитивним або негативним.

Для цілих чисел справедливі наступні співвідношення:

  1. якщо a і c тоді a + c + d.
  2. якщо a і 0 тоді ac (Звідси легко показати, що якщо c <0, то ac> bc.)

3. Цілі числа в обчислювальній техніці

Тип ціле число - найчастіше один з основних типів даних в мовах програмування. Проте ці "цілі числа" - лише імітація класу \ Mathbb {Z} в математиці, так як це безліч нескінченно і завжди знайдеться ціле число, яке даний комп'ютер не зможе зберігати в своїй пам'яті. Цілі типи даних зазвичай реалізуються як фіксований набір бітів, але будь-які подання зрештою приведуть до того, що вільне місце на носії ( жорсткому диску) закінчиться. З іншого боку, теоретичні моделі цифрових комп'ютерів мають потенційно нескінченне (але рахункове) простір.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ціле алгебраїчне число
3 (число)
e (число)
31 (число)
60 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru