Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Числа Ферма



План:


Введення

Числа Ферма - числа виду F_n = 2 ^ {2 ^ n} +1 , Де n - невід'ємне ціле число. Послідовність чисел Ферма починається так:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... (послідовність A000215 в OEIS)

1. Історія

Вивчення чисел такого виду почав Ферма, який висунув гіпотезу, що всі вони прості. Однак, ця гіпотеза була спростована Ейлером в 1732, що знайшли розкладання числа F 5 на прості дільники:

F_5 = 4294967297 = 641 \ cdot 6700417

2. Властивості

2 ^ n +1 = (2 ^ m +1) (1-2 ^ m +2 ^ {2m} - \ cdots +2 ^ {n-m}),
і тому 2 n + 1 не є простим.
  • Простоту чисел Ферма можна ефективно встановити за допомогою тесту Пепіно.
  • На грудень 2011 року відомо лише 5 простих чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (послідовність A019434 в OEIS).
  • Відомо, що F n є складовими при 5 \ le n \ le 32 .
  • Десяткова запис чисел Ферма, великих 5, закінчується на 7.
  • Кожен дільник числа F n при n> 2 може бути представлений у вигляді числа Прота k \ cdot 2 ^ {n +2} + 1 ( Ейлер, Люка, 1878).

3. Розкладання на прості

F_0 = 2 ^ {2 ^ 0} +1 = 2 ^ 1 +1 = 3
F_1 = 2 ^ {2 ^ 1} +1 = 2 ^ 2 +1 = 5
F_2 = 2 ^ {2 ^ 2} +1 = 2 ^ 4 +1 = 17
F_3 = 2 ^ {2 ^ 3} +1 = 2 ^ 8 +1 = 257
F_4 = 2 ^ {2 ^ 4} +1 = 2 ^ {16} +1 = 65537
F_5 = 2 ^ {2 ^ 5} +1 = 2 ^ {32} +1 = 4294967297 = (5 \ cdot 2 ^ {5 +2} +1) \ cdot (52347 \ cdot 2 ^ {5 +2} + 1) = 641 \ cdot 6700417
F_6 = 2 ^ {2 ^ 6} +1 = 2 ^ {64} +1 = 18446744073709551617 = (1071 \ cdot 2 ^ {6 +2} +1) \ cdot (+262814145745 \ cdot 2 ^ {6 +2} + 1) = 274 177 \ cdot 67280421310721
\ Begin {array} {lll} F_7 = 2 ^ {2 ^ 7} +1 = 2 ^ {128} +1 & = & 340282366920938463463374607431768211457 = \ \ & = & (116 \, 503 \, 103 \, 764 \, 643 \ cdot 2 ^ {7 +2} +1) \ cdot (11 \, 141 \, 971 \, 095 \, 088 \, 142 \, 685 \ cdot 2 ^ {7 +2} +1) = \ \ & = & 59 \, 649 \, 589 \, 127 \, 497 \, 217 \ cdot 5 \, 704 \, 689 \, 200 \, 685 \, 129 \, 054 \, 721 \ end {array}
\ Begin {array} {lll} F_8 = 2 ^ {2 ^ 8} +1 = 2 ^ {256} +1 & = & 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = \ \ & = & (3853149761 \ cdot 157 \ cdot 2 ^ {8 +3 } +1) \ cdot \ \ & & (1057372046781162536274034354686893329625329 \ cdot 31618624099079 \ cdot 13 \ cdot 7 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 2 ^ {8 +3} +1) = \ \ & = & 1238926361552897 \ cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321 \ end {array}

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ферма
Ферма, П'єр
Забавна ферма
Точка Ферма
Ферма (конструкція)
Принцип Ферма
Спіраль Ферма
Ферма Шебаа
Мала теорема Ферма
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru