Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Числова послідовність



План:


Введення

Послідовність

Числова послідовність - це послідовність елементів числового простору.

Числові послідовності є одним з основних об'єктів розгляду в математичному аналізі.


1. Визначення

Нехай безліч X - Це або безліч речових чисел \ Mathbb {R} , Або безліч комплексних чисел \ Mathbb {C} . Тоді послідовність \ {X_n \} _ {n = 1} ^ {\ infty} елементів множини X називається числовою послідовністю.

2. Приклади

  • Функція \ Left ((-1) ^ n \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} є нескінченною послідовністю цілих чисел. Початкові відрізки цієї послідовності мають вигляд \ Langle -1, 1, -1, 1, -1, \ ldots \ rangle .
  • Функція (1 / n) _ {n = 1} ^ {\ infty} є нескінченною послідовністю раціональних чисел. Початкові відрізки цієї послідовності мають вигляд \ Langle 1, 1 / 2, 1 / 3, 1 / 4, 1 / 5, \ ldots \ rangle .
  • Функція, що зіставляє кожному натуральному числу n \ leqslant 12 одне з слів "січень", "лютий", "березень", "квітень", "травень", "червень", "липень", "серпень", "вересень", "жовтень", "листопад", "грудень" (у порядку їх слідування тут) являє собою послідовність виду (X_n) _ {n = 1} ^ {12} . Зокрема, п'ятим членом x 5 цієї послідовності є слово "травень".

3. Операції над послідовностями

На безлічі всіх послідовностей елементів множини X можна визначити арифметичні та інші операції, якщо такі визначені на множині X . Такі операції зазвичай визначають природним чином, тобто поелементно.

Нехай на множині X визначена N -Арная операція f :

f \ colon X ^ N \ rightarrow X

Тоді для елементів x_1 = (x_ {1n}) _ {n = 1} ^ \ infty , x_2 = (x_ {2n}) _ {n = 1} ^ \ infty , ..., x_N = (x_ {Nn}) _ {n = 1} ^ \ infty множини всіх послідовностей елементів множини X операція f буде визначатися таким чином:

f \ left (x_1, x_2, \ cdots, x_N \ right) = (f \ left (x_ {1n}, x_ {2n}, \ cdots, x_ {Nn} \ right)) _ {n = 1} ^ \ infty


Наприклад, так визначаються арифметичні операції для числових послідовностей.

Сумою числових послідовностей (X n) і (Y n) називається числова послідовність (Z n) така, що z n = x n + y n .

Різницею числових послідовностей (X n) і (Y n) називається числова послідовність (Z n) така, що z n = x n - y n .

Твором числових послідовностей x n і y n називається числова послідовність (Z n) така, що z_n = x_n \ cdot y_n .

Приватним числової послідовності x n і числової послідовності y n , Всі елементи якої відмінні від нуля, називається числова послідовність z_n = \ left (\ frac {x_n} {y_n} \ right) _ {n = 1} ^ \ infty . Якщо в послідовності y n на позиції k \ neq 1 все ж є нульовий елемент, то результат ділення на таку послідовність все одно може бути визначений, як послідовність z_n = \ left (\ frac {x_n} {y_n} \ right) _ {n = 1} ^ {k-1} .

Звичайно, арифметичні операції можуть бути визначені не тільки на безлічі числових послідовностей, а й на будь-яких множинах послідовностей елементів множин, на яких визначені арифметичні операції, будь то поля або навіть кільця.


4. Підпослідовності

Підпослідовність послідовності (X n) - Це послідовність (X_ {k_n}) , Де (K n) - Зростаюча послідовність елементів множини натуральних чисел.

Іншими словами, підпослідовність виходить з послідовності видаленням кінцевого або рахункового числа елементів.

4.1. Приклади

  • Послідовність простих чисел є підпослідовність послідовності натуральних чисел.
  • Послідовність натуральних чисел, кратних 12, є підпослідовність послідовності парних натуральних чисел.

4.2. Властивості

  • Будь-яка послідовність є своєї підпослідовність.
  • Для будь-якої підпослідовності (X_ {k_n}) вірно, що \ Forall n \ in \ N \ colon k_n \ geqslant n .
  • Підпослідовність сходящейся послідовності сходиться до того ж межі, що і початкова послідовність.
  • Якщо все підпослідовності деякої вихідної послідовності сходяться, то їх межі рівні.
  • Будь підпослідовність нескінченно великою послідовності також є нескінченно великою.
  • З будь-якої необмеженої числової послідовності можна виділити нескінченно велику підпослідовність, всі елементи якої мають певний знак.
  • З будь-числової послідовності можна виділити або сходяться підпослідовність, або нескінченно велику підпослідовність, всі елементи якої мають певний знак.

5. Гранична точка послідовності

Гранична точка послідовності - це точка, в будь-який околиці якій міститься нескінченно багато елементів цієї послідовності. Для сходяться числових послідовностей гранична точка співпадає з межею.

6. Межа послідовності

Межа послідовності - це об'єкт, до якого члени послідовності наближаються із зростанням номера. Так в довільному топологічному просторі межею послідовності називається елемент, в будь- околиці якого лежать всі члени послідовності, починаючи з деякого. Зокрема для числових послідовностей межа - це число, в будь-який околиці якого лежать всі члени послідовності починаючи з деякого.

Частковий межа послідовності - це межа однієї з її підпослідовність. У сходяться числових послідовностей він завжди збігається зі звичайним межею.

Верхня межа послідовності - це найбільша гранична точка цієї послідовності.

Нижня межа послідовності - це найменша гранична точка цієї послідовності.


7. Деякі види послідовностей

  • Стаціонарна послідовність - це послідовність, всі члени якої, починаючи з деякого, рівні.
    (X n) стаціонарна \ Leftrightarrow \ left (\ exists N \ in \ N ~ \ forall i, j \ in \ N \ colon \ left (i \ geqslant N \ right) \ and \ left (j \ geqslant N \ right) \ Rightarrow \ left (x_i = x_j \ right) \ right)

7.1. Обмежені і необмежені послідовності

У припущенні про лінійної впорядкованості безлічі X елементів послідовності можна ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.

  • Обмежена зверху послідовність - це послідовність елементів множини X , Всі члени якої не перевищують деякого елемента з цієї множини. Цей елемент називається верхньою межею даної послідовності.
    (X n) обмежена зверху \ Leftrightarrow \ exists M \ in X ~ \ forall n \ in \ N \ colon x_n \ leqslant M
  • Обмежена знизу послідовність - це послідовність елементів множини X , Для якої в цій множині знайдеться елемент, що не перевищує всіх її членів. Цей елемент називається нижньою межею даної послідовності.
    (X n) обмежена знизу \ Leftrightarrow \ exists m \ in X ~ \ forall n \ in \ N \ colon x_n \ geqslant m
  • Обмежена послідовність (обмежена з обох сторін послідовність) - це послідовність, обмежена і зверху, і знизу.
    (X n) обмежена \ Leftrightarrow \ exists m, M \ in X ~ \ forall n \ in \ N \ colon m \ leqslant x_n \ leqslant M
  • Необмежена послідовність - це послідовність, яка не є обмеженою.
    (X n) необмежена \ Leftrightarrow \ forall m, M \ in X ~ \ exists n \ in \ N \ colon \ left (x_n <m \ right) \ or \ left (x_n> M \ right)

7.1.1. Критерій обмеженості числової послідовності

Числова послідовність є обмеженою тоді і тільки тоді, коли існує таке число, що модулі всіх членів послідовності не перевищують його.

(X n) обмежена \ Leftrightarrow \ exists A \ in \ R ~ \ forall n \ in \ N \ colon | x_n | \ leqslant A

7.1.2. Властивості обмежених послідовностей

  • Обмежена зверху числова послідовність має нескінченно багато верхніх граней.
  • Обмежена знизу числова послідовність має нескінченно багато нижніх граней.
  • Обмежена послідовність має принаймні одну граничну точку.
  • У обмеженої послідовності існують верхній і нижній межі.
  • Для будь-якого наперед взятого позитивного числа ε всі елементи обмеженою числової послідовності \ Left (x_n \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} , Починаючи з деякого номера, що залежить від ε , Лежать всередині інтервалу \ Left (\ varliminf_ {n \ to \ infty} x_n - \ varepsilon, \ varlimsup_ {n \ to \ infty} x_n + \ varepsilon \ right) .
  • Якщо за межами інтервалу \ Left (a, b \ right) лежить лише кінцеве число елементів обмеженою числової послідовності \ Left (x_n \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} , То інтервал \ Left (\ varliminf_ {n \ to \ infty} x_n, \ varlimsup_ {n \ to \ infty} x_n \ right) міститься в інтервалі \ Left (a, b \ right) .
  • Справедлива теорема Больцано - Вейєрштрасса. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити сходяться підпослідовність.

7.2. Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності

7.2.1. Властивості нескінченно малих послідовностей

Нескінченно малі послідовності відрізняються цілим рядом чудових властивостей, які активно використовуються в математичному аналізі, а також у суміжних з ним і більш загальних дисциплінах.

  • Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.
  • Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.
  • Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.
  • Твір обмеженою послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.
  • Твір будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.
  • Будь нескінченно мала послідовність обмежена.
  • Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, то всі її елементи, починаючи з деякого, дорівнюють нулю.
  • Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, то ці елементи - нулі.
  • Якщо (X n) - Нескінченно велика послідовність, яка не містить нульових членів, то існує послідовність (1 / x n) , Яка є нескінченно малою. Якщо ж (X n) все ж містить нульові елементи, то послідовність (1 / x n) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n , І все одно буде нескінченно малою.
  • Якщо n) - Нескінченно мала послідовність, яка не містить нульових членів, то існує послідовність (1 / α n) , Яка є нескінченно великою. Якщо ж n) все ж містить нульові елементи, то послідовність (1 / α n) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n , І все одно буде нескінченно великою.

7.3. Сходяться і розходяться послідовності

  • Сходиться послідовність - це послідовність елементів множини X , Що має межа в цій множині.
  • Розходиться послідовність - це послідовність, яка не є збіжної.

7.3.1. Властивості збіжних послідовностей

  • Будь-яка нескінченно мала послідовність є збіжної. Її межа дорівнює нулю.
  • Видалення будь-якого кінцевого числа елементів з нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межа цієї послідовності.
  • Будь сходящаяся послідовність елементів хаусдорфових простору має тільки один межа.
  • Будь сходящаяся послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.
  • Послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою і при цьому її верхній і нижній межі збігаються.
  • Якщо послідовність (X n) сходиться, але не є нескінченно малою, то, починаючи з деякого номера, визначено послідовність (1 / x n) , Яка є обмеженою.
  • Сума сходяться послідовностей також є збіжної послідовністю.
  • Різниця сходяться послідовностей також є збіжної послідовністю.
  • Твір сходяться послідовностей також є збіжної послідовністю.
  • Приватне двох збіжних послідовностей визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох збіжних послідовностей визначено, то воно являє собою сходяться послідовність.
  • Якщо сходящаяся послідовність обмежена знизу, то ніяка з її нижніх граней не перевищує її межі.
  • Якщо сходящаяся послідовність обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.
  • Якщо для будь-якого номера члени однієї сходящейся послідовності не перевищують членів іншої сходящейся послідовності, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другий.
  • Якщо всі елементи деякої послідовності, починаючи з деякого номера, лежать на відрізку між відповідними елементами двох інших сходяться до одного й того ж межі послідовностей, то і ця послідовність також сходиться до такого ж межі.
  • Будь-яку сходяться послідовність (X n) можна представити у вигляді (X n) = (a + α n) , Де a - Межа послідовності (X n) , А α n - Деяка нескінченно мала послідовність.
  • Будь-яка сходиться послідовність є фундаментальної. При цьому фундаментальна числова послідовність завжди сходиться (як і будь-яка фундаментальна послідовність елементів повного простору).

7.4. Монотонні послідовності

Монотонна послідовність - це невозрастающая, або неубутною послідовність. При цьому передбачається, що на безлічі, з якого беруться елементи послідовності, введено відношення порядку.

7.5. Фундаментальні послідовності

Фундаментальна послідовність (сходящаяся в собі послідовність, послідовність Коші) - це послідовність елементів метричного простору, в якій для будь-якого наперед заданого відстані знайдеться такий елемент, відстань від якого до кожного з наступних за ним елементів не перевищує заданого. Для числових послідовностей поняття фундаментальної та сходящейся послідовностей еквівалентні, проте в загальному випадку це не так.


8. Варіації і узагальнення

Примітки



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Числова вісь
Числова функція
Послідовність
Послідовність Люка
Точна послідовність
Послідовність Хаббла
Фундаментальна послідовність
Головна послідовність
Монотонна послідовність
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru