Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Числовий ряд



План:


Введення


Числовий ряд - це числова послідовність, розглянута разом з іншою послідовністю, яка називається послідовністю часткових сум (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів

Найважливіше питання дослідження числових рядів - це збіжність числових рядів.

Числові ряди застосовуються в якості системи наближень до чисел.


1. Визначення

Нехай \ {A_i \} _ {i = 1} ^ {\ infty} - числова послідовність; розглянемо нарівні з даною послідовністю послідовність

\ {S_k \} _ {k = 1} ^ {\ infty},

кожен елемент якої являє собою суму деяких членів вихідної послідовності. У найбільш простому випадку використовуються звичайні часткові суми вигляду

s_k = \ sum_ {i = 1} ^ {k} a_i.

Взагалі, для позначення ряду використовується символ

\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} a_i,

оскільки тут вказана початкова послідовність елементів ряду, а також правило підсумовування.

Відповідно до цього йдеться про збіжність числового ряду:

  • числовий ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум;
  • числовий ряд розходиться, якщо розходиться послідовність його часткових сум.

Якщо числовий ряд сходиться, то межа S послідовності його часткових сум носить назву суми ряду:

S = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} a_i,

2. Операції над рядами

Нехай задані сходяться ряди \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n і \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n . Тоді:

  • Їх сумою називається ряд \ Sum (a_n + b_n)
  • Їх твором за Коші називається ряд \ Sum c_n , Де c_n = \ sum_ {k = 0} ^ n a_k b_ {n-k}

Якщо обидва ряди сходяться, то їх сума сходиться, якщо обидва ряди сходяться абсолютно, то їх сума сходиться абсолютно. Якщо хоча б один з лав сходиться абсолютно, то твір рядів сходиться.


3. Критерій абсолютної збіжності

Ряд \, A_kсходиться абсолютно тоді і тільки тоді, коли сходяться обидва позитивних ряду \, B_k і \, C_k. Де \, A_k = b_k - c_k, \ left | a_k \ right | = b_k + c_k, b_k \ geqslant 0, c_k \ geqslant 0, \ forall k.


Доказ. Якщо сходиться \ Sum \ left | a_k \ right |, то по ознакою порівняння тим більше сходяться \, B_k і \, C_k. Навпаки, якщо сходяться \, B_k і \, C_k, то сходиться і їх сума \ Sum \ left | a_k \ right |.


Література

  • В. А. Зорич Глава III. Межа. 1. Межа послідовності / / Математичний аналіз, частина I - М .: Наука, 1981. - С. 104 - 114. - 544 с.
  • Ю. С. Богданов - "Лекції з математичного аналізу" - Частина 2 - Мінськ - Видавництво БГУ ім. В. І. Леніна - 1978.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Числовий розряд
Числовий промінь
Ряд
Часовий ряд
Функціональний ряд
Гомологічний ряд
Ряд Мебіуса
Ряд Діріхле
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru