Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Чотирикутник



План:


Введення

Чотирикутник
┌ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┼ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┐
неопуклих опуклий самопересекающийся
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.svg Cross-quadrilateral.png
┌ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┼ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┐
Cyclic quadrilateral.png Trapezium (geometry). Svg Tangent quadrilateral.png
Вписаний трапеція описаний
| ┌ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┤ |
Isoceles trapezium.png

рівнобедрена трапеція

равнобокая
Parallelogram.png

паралелограм

сторони паралельні
Kite.png

опуклий ромбоїд (дельтоид)

діагоналі перпендикулярні
└ ─ ─ ─ ─ ─ ┬ ─ ─ ─ ─ ─ ┘ └ ─ ─ ─ ─ ─ ┬ ─ ─ ─ ─ ─ ┘
Rectangle (geometry). Png

прямокутник

прямі кути
Rhombus (geometry). Png

Ромб

рівнобедрений
└ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┬ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ┘
Square (geometry). Png
квадрат


Чотирикутник - це геометрична фігура ( багатокутник), що складається з чотирьох точок (вершин), які не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків (сторін), попарно з'єднують ці точки. Розрізняють опуклі і неопуклі чотирикутники (див. рис.).


1. Види чотирикутників

  1. Паралелограм - чотирикутник, у якого всі протилежні сторони попарно паралельні;
    • Прямокутник - чотирикутник, у якого всі кути прямі;
    • Ромб - чотирикутник, у якого всі сторони рівні;
    • Квадрат - чотирикутник, у якого всі кути прямі і всі сторони рівні;
  2. Трапеція - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні;
  3. Дельтоид - чотирикутник, у якого дві пари суміжних сторін рівні.

2. Четирехстороннік

Хоча така назва може бути еквівалентно чотирикутнику, в нього часто вкладають додатковий сенс. Четвірка прямих, ніякі дві з яких не паралельні і жодні три не проходять через одну точку, називається четирехсторонніком. Така конфігурація зустрічається в деяких твердженнях евклідової геометрії (наприклад, теорема Менелая, пряма Гаусса, пряма Обера та ін), в яких часто все прямі є взаємозамінними.


3. Властивості

  • Сума кутів чотирикутника дорівнює 2 π = 360 .
  • Чотирикутник можна вписати в окружність тоді і тільки тоді, коли сума протилежних кутів дорівнює 180 ( ~ \ Angle A + \ angle C = \ angle B + \ angle D = 180 ^ \ circ ) ..
  • Чотирикутник є описаним близько кола тоді і тільки тоді, коли суми довжин протилежних сторін рівні ( ~ AB + CD = BC + AD )
  • Формула Ейлера: учетверенной квадрат відстані між серединами діагоналей дорівнює сумі квадратів сторін чотирикутника мінус суму квадратів його діагоналей.
  • Середні лінії чотирикутника і відрізок, що з'єднує середини його діагоналей, перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
  • Чотири відрізка, кожен з яких сполучає вершину чотирикутника з центроїдів трикутника, утвореного залишилися трьома вершинами, перетинаються в центроїда чотирикутника і діляться ним у відношенні 3:1, рахуючи від вершин.
  • Дві протилежні сторони чотирикутника перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли сума квадратів двох інших протилежних сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей.
  • Діагоналі чотирикутника перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли суми квадратів протилежних сторін рівні.
  • Середні лінії чотирикутника рівні тоді і тільки тоді, коли рівні суми квадратів його протилежних сторін.
  • чотирикутника.
  • Шість відстаней між чотирма довільними точками площини, взятими попарно, пов'язані співвідношенням:
a ^ ^ 2c 2 \ left (b ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2 + f ^ 2-a ^ 2-c ^ 2 \ right) + b ^ 2d ^ 2 \ left (a ^ 2 + c ^ 2 + e ^ 2 + f ^ 2-b ^ 2-d ^ 2 \ right) +
+ E ^ 2f ^ 2 \ left (a ^ 2 + c ^ 2 + b ^ 2 + d ^ 2-e ^ 2-f ^ 2 \ right) = (abe) ^ 2 + (bcf) ^ 2 + (cde ) ^ 2 + (daf) ^ 2 .

Його можна представити ще у вигляді:

\ Left | \ begin {matrix} 0 & a ^ 2 & e ^ 2 & d ^ 2 & 1 \ \ a ^ 2 & 0 & b ^ 2 & f ^ 2 & 1 \ \ e ^ 2 & b ^ 2 & 0 & c ^ 2 & 1 \ \ d ^ 2 & f ^ 2 & c ^ 2 & 0 & 1 \ \ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {matrix} \ right |

4. Площа

Площа довільного чотирикутника з діагоналями d 1 , d 2 і кутом α між ними (або їх продовженнями), дорівнює:

S = \ frac {d_1d_2 \ sin \ alpha} {2}

Площа довільного опуклого чотирикутника дорівнює:

  • 16S ^ 2 = 4e ^ 2f ^ 2 - \ left (b ^ 2 + d ^ 2-a ^ 2-c ^ 2 \ right) ^ 2 , Де e, f - довжини діагоналей, a, b, c, d - довжини сторін.
  • S ^ 2 = (pa) (pb) (pc) (pd)-abcd \ cos ^ 2 \ frac {\ angle A + \ angle C} {2} , Де p - напівпериметр. З цієї формули для вписаних 4-косинців слід формула Брахмагупти.

4.1. Особливі випадки

Якщо 4-кутник і вписаний, і описаний, то S = \ sqrt {abcd} .

4.2. Історія

У давнину єгиптяни і деякі інші народи використовували як площі чотирикутника невірну формулу - твір напівсума його протилежних сторін a, b, c, d [1] :

S = \ frac {a + c} {2} \ cdot \ frac {b + d} {2} .

Примітки

  1. Г. Г. Цейтен Історія математики в давнину і в середні століття, ГТТІ, М-Л, 1932.

Література

Багатокутники
За кількістю вершин
1-10 Одноугольнік (англ.) Двуугольнік Трикутник Чотирикутник ( Дельтоид) П'ятикутник Шестикутник семикутники Восьмикутник Дев'ятикутник Десятіугольнік
11-20 Одіннадцатіугольнік (англ.) Двенадцатіугольнік
Правильні
Опуклі Трикутник Чотирикутник П'ятикутник Шестикутник Семикутники Восьмикутник Дев'ятикутник ... 17-кутник ... 257-кутник ... 65537-кутник
Зірчаста форма Зірки ( Пентаграма Гексаграмма Октаграмма)
Опуклі

Чотирикутники: Паралелограм Прямокутник Ромб Трапеція

Планігон
Див також Теорія і практика: Належність точки багатокутнику Теорема Бойя - Гервіна Теорема Брахмагупти Теорема Гаусса - Ванцеля Формула Піка Теорема про суму кутів багатокутника

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Чотирикутник Ламберта
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru