Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Щільність ймовірності



План:


Введення

Щільність ймовірності - один зі способів завдання ймовірнісної заходи на евклідовому просторі \ Mathbb {R} ^ n . У разі коли імовірнісна міра є розподілом випадкової величини, говорять про щільності випадкової величини.


1. Щільність ймовірності

Нехай \ Mathbb {P} є ймовірнісної мірою на \ Mathbb {R} ^ n , Тобто визначено ймовірнісна простір \ Left (\ mathbb {R} ^ n, \ mathcal {B} (\ mathbb {R} ^ n), \ mathbb {P} \ right) , Де \ Mathcal {B} (\ mathbb {R} ^ n) позначає борелевскую σ-алгебру на \ Mathbb {R} ^ n . Нехай m позначає міру Лебега на \ Mathbb {R} ^ n .

Визначення 1. Ймовірність \ Mathbb {P} називається абсолютно неперервної (щодо міри Лебега) ( \ Mathbb {P} \ ll m ), Якщо будь борелевское безліч нульової міри Лебега також має ймовірність нуль:

\ Forall B \ in \ mathcal {B} (\ mathbb {R} ^ n), \; (m (B) = 0) \ Rightarrow (\ mathbb {P} (B) = 0).

Якщо ймовірність \ Mathbb {P} абсолютно неперервна, то згідно теоремі Радону-Никодима існує невід'ємна борелевская функція f: \ mathbb {R} ^ n \ to [0, \ infty) така, що

\ Mathbb {P} (B) = \ int \ limits_ {B} f (x) \, dx ,

де використано загальноприйняте скорочення m (dx) \ equiv dx , І інтеграл розуміється в сенсі Лебега.

Визначення 2. У більш загальному вигляді, нехай (X, \ mathcal F) - Довільне вимірне простір, а μ і ν - Дві заходи на цьому просторі. Якщо знайдеться неотрицательна f , Що дозволяє висловити міру ν через міру μ у вигляді

ν (A) = f d μ,
A

то таку функцію називають щільністю заходи ν по мірі μ , Або похідної Радону-Никодима заходи ν щодо міри μ , І позначають

f = \ frac {d \ nu} {d \ mu} .

2. Властивості щільності ймовірності

  • Щільність ймовірності визначена майже всюди. Якщо f є щільністю ймовірності \ Mathbb {P} і f (x) = g (x) майже всюди щодо міри Лебега, то і функція g також є щільністю ймовірності \ Mathbb {P} .
  • Інтеграл від щільності по всьому простору дорівнює одиниці:
\ Mathbb {P} \ left (\ mathbb {R} ^ n \ right) = \ int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ n} f (x) \, dx = 1 .

Назад, якщо f (x) - Невід'ємна П.В. функція, така що \ Int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ n} f (x) \, dx = 1 , То існує абсолютно неперервна ймовірнісна міра \ Mathbb {P} на \ Mathbb {R} ^ n така, що f (x) є її щільністю.

  • Заміна заходи в інтегралі Лебега:
\ Int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ n} \ varphi (x) \, \ mathbb {P} (dx) = \ int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ n} \ varphi (x) \, f (x) \, dx ,

де \ Varphi: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} будь-яка борелевская функція, інтегрована щодо ймовірнісної заходи \ Mathbb {P} .


3. Щільність випадкової величини

Нехай визначено довільне ймовірнісна простір (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P}) , І X: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ nвипадкова величина (або випадковий вектор). X індукує ймовірнісну міру \ Mathbb {P} ^ X на \ Left (\ mathbb {R} ^ n, \ mathcal {B} (\ mathbb {R} ^ n) \ right) , Звану розподілом випадкової величини X .

Визначення 3. Якщо розподіл \ Mathbb {P} ^ X абсолютно безперервно щодо міри Лебега, то його щільність f_X = \ frac {d \ mathbb {P} ^ X} {dx} називається щільністю випадкової величини X . Сама випадкова величина X називається абсолютно неперервною.

Таким чином для абсолютно неперервної випадкової величини маємо:

\ Mathbb {P} (X \ in B) = \ int \ limits_ {B} f_X (x) \, dx .

3.1. Зауваження

  • Не всяка випадкова величина абсолютно неперервна. Будь-яке дискретне розподіл, наприклад, не є абсолютно безперервним щодо міри Лебега, а тому дискретні випадкові величини не мають щільності.
  • Функція розподілу абсолютно неперервної випадкової величини X безперервна і може бути виражена через щільність наступним чином:
F_X (x_1, \ ldots, x_n) = \ mathbb {P} \ left (X \ in \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n (- \ infty, x_i] \ right) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {x_n} \! \! \ ldots \! \! \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {x_1} f_X (x'_1, \ ldots, x'_n) \, dx'_1 \ ldots dx '_n .

В одновимірному випадку:

F_X (x) = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ x f_X (x ') \, dx' .

Якщо f_X \ in C (\ mathbb {R} ^ n) , То F_X \ in \ mathcal {D} (\ mathbb {R} ^ n) , І

\ Frac {\ partial ^ n} {\ partial x_1 \ ldots \ partial x_n} F_X (x_1, \ ldots, x_n) = f_X (x_1, \ ldots, x_n) .

В одновимірному випадку:

\ Frac {d} {dx} F_X (x) = f_X (x) .
\ Mathbb {E} [g (X)] = \ int \ limits_ {\ mathbb {R} ^ n} g (x) \, \ mathbb {P} ^ X (dx) = \ int \ limits_ {\ mathbb { R} ^ n} g (x) \, f_X (x) \, dx ,

де g: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} - Борелевская функція, так що \ Mathbb {E} [g (X)] визначено і звичайно.


3.2. Щільність перетворення випадкової величини

Нехай X: \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ n - Абсолютно неперервна випадкова величина, і g: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n - Ін'ектівная безперервно дифференцируемая функція така, що J_g (x) \ not = 0, \; \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ n , Де J g (x) - якобіан функції g в точці x . Тоді випадкова величина Y = g (X) також абсолютно неперервна, і її щільність має вигляд:

f_Y (y) = f_X \ left (g ^ {-1} (y) \ right) \ vert J_ {g ^ {-1}} (y) \ vert .

В одновимірному випадку:

f_Y (y) = f_X \ left (g ^ {-1} (y) \ right) \ left \ vert \ frac {dg ^ {-1}} {dy} (y) \ right \ vert .

4. Приклади абсолютно неперервних розподілів



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Функція ймовірності
Струм ймовірності
Формула повної ймовірності
Щільність
Щільність енергії
Щільність струму
Щільність повітря
Щільність заряду
Планка щільність
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru