Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Щільність станів



Щільність станів - величина, що визначає кількість енергетичних рівнів в інтервалі енергій на одиницю об'єму в тривимірному випадку (на одиницю площі - у двовимірному випадку). Є важливим параметром в статистичної фізики і фізики твердого тіла. Термін може застосовуватися до фотонам, електронам, квазічастинками в твердому тілі і т. п. Застосовується тільки для одночасткові завдань, тобто для систем де можна знехтувати взаємодією (невзаємодіючі частки) або додати взаємодія в якості обурення (це призведе до модифікації щільності станів).


Визначення

Щоб обчислювати щільність станів енергії для частинки, ми спочатку обчислимо щільність станів у зворотному просторі (імпульсне або k-простір). Відстань між станами задано граничними умовами. Для вільних електронів і фотонів в межах ящика розміру L, і для електронів в кристалічній решітці з розміром решітки L використовуємо періодичні граничні умови Борна - фон Кармана. Використовуючи хвильову функцію вільної частки отримуємо

\ Begin {matrix} e ^ {ikx} & = & e ^ {ik (x + L)} \ \ 1 & = & e ^ {ikL} \ \ 2 \ pi n & = & kL \ \ \ frac {2 \ pi} {L_x} & = & \ Delta k \ \ \ end {matrix}

де n - будь-яке ціле число, а \ Delta k \, - Відстань між станами з різними k.

Повна кількість k-станів, доступних для частки - обсяг k-простору доступного для неї, розділеного на обсяг k-простору, займаного одним станом. Доступний об'єм - просто інтеграл від k = 0 до k = k . Обсяг k-простору для одного стану в n-мірному випадку запишеться у вигляді

G (k) = \ frac {g_s} {\ left ({\ Delta k} \ right) ^ n} \ int \ limits_0 ^ k \, {d ^ n {\ mathbf {k}}},

g s - Виродження рівня (звичайно це спінова виродження рівне 2). Цей вираз потрібно продиференціювати, щоб знайти щільність станів в k-просторі: g (k) \, dk = \ frac {dG (k)} {dk} \, dk . Щоб знайти щільність станів за енергією потрібно знати закон дисперсії для частинки, тобто висловити k і dk у виразі g (k) dk в термінах E і dE. Наприклад для вільного електрона: E = \ frac {p ^ 2} {2m} = \ frac {(\ hbar k) ^ 2} {2m} , dE = \ frac {\ hbar ^ 2 k} {m} \, dk.

З більш загальним визначенням пов'язано співвідношення

D (E) = \ sum_s ~ \ delta (E-E_s) \,

де індекс s відповідає деякому станом дискретного чи безперервного спектра, а δ - дельта-функція Дірака. При переході від підсумовування до інтегрування следут використовувати правило

\ Sum_s \ rightarrow \ int \ frac {d ^ np ~ d ^ nq} {(2 \ pi \ hslash) ^ n} \,

де \ Hslash - постійна Планка.


Приклади

У наступній таблиці представлені щільність станів для електронів з параболічним законом дисперсії

Доступний об'єм Об'єм для одного стану Щільність станів
3D \ Frac {4} {3} \ pi k ^ 3\ Frac {(2 \ pi) ^ 3} {L_x L_y L_z}\ Frac {\ sqrt {2m ^ 3}} {\ pi ^ 2 \ hbar ^ 3} \ sqrt {E}
2D π k 2 \ Frac {(2 \ pi) ^ 2} {L_x L_y}\ Frac {m} {\ pi \ hbar ^ 2 L_x} \ sum_l \ Theta (E-E_l)
1D 2 k \ Frac {2 \ pi} {L_x}\ Frac {\ sqrt {2m}} {\ pi \ hbar L_x L_y} \ sum_l \ frac {1} {\ sqrt {E-E_l}}
0D \ Frac {2} {L_x L_y L_z} \ sum_l \ delta (E-E_l)

де l - індекс підзони розмірного квантування. Тут розглянуто не чистий випадок, а коли квантування по одному або декількох напрямках пов'язано з деяким обмежує потенціалом.


Зовнішні посилання


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Закон відповідних станів
Простір станів (теорія управління)
Декрет про знищення станів і цивільних чинів (1917)
Щільність
Щільність повітря
Щільність енергії
Щільність заряду
Планка щільність
Щільність грунту
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru