Якобіан відображення

Якобіан відображення - певне узагальнення похідної для функції однієї змінної для відображень з Евклідова простору в себе. Якобіан виражається як визначник матриці, складеної з приватних похідних відображення.

Якобіан відображення f в точці x звичайно позначається \ Mathop {\ rm Jac} _xf .


Визначення

Нехай f: E \ to \ R ^ n , E \ subseteq R ^ n дифференцируема в крапці x \ in E . Матриця з приватних похідних координатних функцій даного відображення в точці x \ in E

\ Begin {pmatrix} \ frac {df ^ 1} {dx_1} (x) & \ ldots & \ frac {df ^ 1} {dx_m} (x) \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ \ frac { df ^ n} {dx_1} (x) & \ ldots & \ frac {df ^ n} {dx_m} (x) \ end {pmatrix}

називається матрицею Якобі в цій точці. Визначник цієї матриці називається якобіан.


Історія

Введений Якобі (1833, 1841).

Властивості

  • Абсолютне значення якобіан в деякій точці x одно коефіцієнту спотворення об'ємів в цій точці (тобто межі відносини обсягу образу околиці точки x до обсягу самої околиці, коли розміри околиці прагнуть до нуля).
  • Якобіан в точці x позитивний, якщо відображення не змінює орієнтації в околиці точки М, і від'ємний у протилежному випадку.
  • Якщо якобіан відображення не звертається в нуль в області \ Delta , То відображення \ Delta є локальним дифеоморфізмів.