Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

4-вектор



План:


Введення

4-вектор (чотири-вектор, четирехвектор) - вектор в чотиривимірному просторі Мінковського. Координати 4-вектора при перенесенні або повороті системи відліку перетворюються як відповідні їм координати в просторі Мінковського. В 4-векторі одна тимчасова компонента і три просторових. Просторові компоненти складають звичайний просторовий тривимірний вектор і перетворюються у відповідності з цим при перетворенні просторових координат, що не зачіпають тимчасовою, тобто при перетвореннях координат, що не включають фізичного руху нової системи відліку відносно незмінною.

  • У сучасних позначеннях тимчасової компоненті зазвичай відповідає індекс 0 (тобто вона вважається нульовою компонентою), просторовим: 1, 2, 3 - збігається з x, y, z (зазвичай, за замовчуванням і якщо можливо, це звичайні прямокутні декартові координати). У старій літературі часто використовується угода (висхідний до Минковскому), за яким тимчасова компонента вважалася не нульовий, а четвертою.
  • Іноді буває зручно приписувати тимчасової компоненті 4-вектора чисто уявний характер (завжди множити дійсну тимчасову компоненту на уявну одиницю). Таке уявлення 4-векторів було історично введено першим, проте не дуже рідко - в силу своєї зручності - використовується і в сучасній літературі.
  • 4-вектори (їх компонентне подання) можуть бути записані в контраваріантной і (або) коваріантний формі (див. нижче), які не завжди збігаються, а в разі дійсного уявлення (без уявної одиниці) завжди різняться між собою, хоча в простих випадках ця різниця дуже просто.

1. Приклади 4-векторів


2. Властивості

  • Закон перетворення четирехвектора:
~ \ Tilde A ^ i = \ sum_i S_j ^ i \ A ^ j ,

де S_j ^ i - Матриця з групи Лоренца - матриця переходу до нових координатах (до нової системи відліку).

  • Скалярні твори (зокрема, квадрати) 4-векторів обчислюються з використанням метрики Лоренца (див. також нижче).
    • Вони інваріантні відносно перетворень Лоренца. Вони називаються скалярами (в чотиривимірному - просторово-часовому - сенсі).
    • Наприклад, це інтервал (квадрат інтервалу є квадрат вектора переміщення в метриці Лоренца), маса (маса спокою) - її квадрат є, з точністю до постійного множника, квадрат 4-імпульсу: m 2 = E 2 / c 4 - p 2 / c 2 і т. д.

3. Позначення

Традиційно використовується позначення 4-вектора як сукупності його компонент. Так 4-вектор a позначається як: a i (Не потрібно плутати це позначення зі зведенням до степеня!) Або a i.

Координати, просторову і тимчасову, зазвичай позначають як x i .

Що означає при цьому використання верхнього ( a i ) Або нижнього a i індексу, обмовляється особливо, але за замовчуванням, якщо використовується той і інший (або хоча б перший) варіант, тобто, якщо верхні індекси взагалі використовують, верхнім індексом позначають контраваріантние координати 4-вектора, а нижнім - коваріантний координати. Таким чином, в цьому випадку один і той же вектор може мати два різні уявлення - контраваріантное і коваріантного.

У разі плоского простору і інерційних систем відліку, як у електродинаміки, спеціальної теорії відносності і взагалі у випадках, коли гравітацією можна знехтувати, коваріантного і контраваріантное уявлення відрізняються лише знаком тимчасової (або навпаки, залежно від умовно прийнятої сигнатури - просторових) компоненти. При цьому скалярний твір представимо як проста сума творів відповідних компонент тільки для твору коваріантного вектора з контраваріантним, наприклад:

(A, b) = a ^ i b_i \ equiv \ sum_i a ^ i b_i = a ^ 1 b_1 + a ^ 2 b_2 + a ^ 3 b_3 + a ^ 4 b_4 = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4

і зокрема

(A) ^ 2 = (a, a) = a ^ i a_i \ equiv \ sum_i a ^ i a_i = a ^ 1 a_1 + a ^ 2 a_2 + a ^ 3 a_3 + a ^ 4 a_4 = (a_1) ^ 2 - (a_2) ^ 2 - (a_3) ^ 2 - (a_4) ^ 2

(Тут і нижче використано правило підсумовування по повторюваному індексом Ейнштейна, а зведення в квадрат позначено як (...) ).

Якщо ж хочуть написати скалярний твір з використанням тільки коваріантний або тільки контраваріантних компонент, зазвичай використовують запис з метрикою Лоренца η i j (Або η i j ):

(A, b) = \ eta_ {ij} a ^ ib ^ j \ equiv \ sum_ {i, j} \ eta_ {ij} a ^ ib ^ i = a ^ 1 b ^ 1 - a ^ 2 b ^ 2 - a ^ 3 b ^ 3 - a ^ 4 b ^ 4

або

(A, b) = \ eta ^ {ij} a_i b_j \ equiv \ sum_ {i, j} \ eta ^ {ij} a_i b_i = a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4

(Обидва способи еквівалентні один одному і описаного вище способу зі обома типами координат).

Однак у більш загальному випадку нелоренцевих систем відліку, в тому числі при обліку гравітації відповідно до ОТО, замість дуже простий і постійної лоренцева метрики η i j доводиться розглядати довільну, у тому числі залежить від просторових координат і часу метрику g i j. (У всіх формулах, написаних у цьому параграфі вище треба в загальному випадку замінити η i j на g i j , А η i j на g i j ). При цьому просте правило про те, що коваріантного і контраваріантное уявлення 4-вектора розрізняються лише знаком просторових компонент, перестає діяти, вони починають виражатися один через одного з використанням також метрики g i j загального вигляду (див. Метричний тензор # Ізоморфізм між дотичним і кокасательним простором):

a ^ i = g ^ {ij} a_j \ equiv \ sum_j g ^ {ij} a_j,
a_i = g_ {ij} a ^ j \ equiv \ sum_j g_ {ij} a ^ j.

(Як бачимо, ці формули були вірні і для η i j , Але в тому випадку зводилися до простого правила зміни знака деяких компонент, а тут - у загальному випадку - вже не зводяться).

Зауважимо також, що в просторі-часі з кривизною (яке вже правильно вважати тільки різноманіттям, а не векторним простором), сукупність координат x i вже не є вектором. Однак, нескінченно малі зміщення по координатах d x i представляють вектор (вектор дотичного простору до різноманіття в точці x i ).

І нарешті, у випадку лоренцева метрики, розглянутому вище, нерідко використовують тільки нижні індекси, оскільки коваріантний і контраваріантние компоненти розрізняються тільки знаком, і можна обмежуватися згадкою тільки одних з них (зазвичай - контраваріантних, хоча і використовуючи нижній індекс). Цей спосіб для цього випадку порівняно зручний, так як відсутність верхніх індексів кілька більш звично для неспеціалістів, до того ж не може створити плутанину з позначенням зведення в ступінь. Однак і він має підводні камені, тому що, наприклад, вектор 4-градієнта, записаний в контраваріантном вигляді, досить несподівано має знак мінус у просторових компонент: (\ Partial_0, - \ partial_1, - \ partial_2, - \ partial_3), так як повний диференціал df = \ partial_0 f dx ^ 0 + \ partial_1 f dx ^ 1 + \ partial_2 f dx ^ 2 + \ partial_3 f dx ^ 3 - Повинен бути інваріантним, а в формулу скалярного твору, якщо обидва вектори представлені в однаковій контраваріантной формі, входить, як ми знаємо, зміна знака через η i j .

Цікаво, що спосіб з використанням тільки нижніх індексів і уявної тимчасової компоненти позбавлений цих недоліків (головним чином в області застосування, обмеженої випадком плоского простору, але не тільки). Справа в тому, що при використанні цього способу потрібні знаки виходять автоматично (увага: з урахуванням сигнатури; втім, вибір сигнатури - все одно справа домовленістю). Тобто, про знаки взагалі не потрібно думати, не потрібно використовувати явно матрицю метричного тензора, навіть η i j , Тобто метрика формально представлена ​​одиничною матрицею ("формально евклідовская", що, звичайно, не змінює її реально псевдоевклидова характеру, але спрощує запис), а подання всіх 4-векторів просто і одноманітно:

  • 4-переміщення ~ Dx_ \ mu = (i c ~ dt, dx, dy, dz),
  • 4-імпульс ~ P_ \ mu = (i E / c, p_x, p_y, p_z),
  • чотиривимірні щільність струму ~ J_ \ mu = (i c \ rho, j_x, j_y, j_z),
  • хвильової 4-вектор ~ K_ \ mu = (i \ omega / c, k_x, k_y, k_z),
  • електромагнітний потенціал ~ A_ \ mu = (i \ phi, A_x, A_y, A_z),

і т. д., де i - уявна одиниця.


4. 4-вектор в математиці

Точка в просторі Мінковського називається подією і задається чотирма координатами:

\ Mathbf {x}: = \ left (ct, x, y, z \ right),

де c - Швидкість світла, t - Час події, а x, y, z - Його просторові координати. Такий 4-вектор називається 4-радіус-вектором.

Багато інших 4-вектори можуть бути побудовані з нього і далі один з одного складанням, відніманням, множенням або діленням на скаляр, а також диференціюванням по скаляру і т. п. Так з 4-радіус-вектора диференціюванням по власному часу виходить 4-швидкість, і т. д.

Скалярні твори 4-векторів - Лоренц-інваріантні величини (інваріанти групи Лоренца), скаляри простору Мінковського.


5. Історія

4-вектори вперше розглянули Пуанкаре ( 1905) і потім Мінковський. Вони розглядали тимчасову компоненту 4-вектора чисто уявної, що автоматично породжувало потрібне правило обчислення скалярного твори при звичайному підсумовуванні творів компонент. Термін "4-вектор" був запропонований Арнольдом Зоммерфельдом в 1910.


Література

  • Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Теорія поля - Видання 7-е, виправлене. - М .: Наука, 1988. - 512 с. - ( "Теоретична фізика", том II). - ISBN 5-02-014420-7. , 6. Чотиривимірні вектори.
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекції з фізики. Том 6: Електродинаміка. Переклад з англійської (видання 3) - Едіторіал УРСС. - ISBN 5-354-00704-6. - Гол. 25. "Електродинаміка в релятивістських позначеннях". (Це просте введення для студентів молодших курсів; щоб уникнути плутанини слід звернути увагу, що в цій книзі використовуються тільки нижні індекси пов'язані, однак, до контраваріантним компонентам 4-векторів).

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Вектор
Аксіальний вектор
Ізотропний вектор
Вектор Бюргерса
Вектор (завод)
Вектор-функція
Вектор стану
Коваріантний вектор
Контраваріантний вектор
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru