Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

N-мірна евклідова геометрія



План:


Введення

N-мірна евклідова геометрія - узагальнення евклідової геометрії на простір більшого числа вимірювань. Хоча фізичний простір є тривимірним [1], і людські органи чуття розраховані на сприйняття трьох вимірів [2], N-мірна геометрія широко застосовується в якості математичного інструменту при вирішенні різного роду завдань, пов'язаних з маніпулюванням великим числом параметрів (наприклад, задачі оптимізації з великим числом змінних, завдання геометричної ймовірності).


1. Система координат

Оскільки досить важко працювати з багатомірними об'єктами, використовуючи інтуїтивні уявлення тривимірного світу, в N-мірної геометрії широко застосовуються аналітичні методи. Як системи координат найчастіше використовується прямокутна декартова система з числом осей більше трьох. Таким чином, деяка точка А представляється в N-мірної геометрії як набір з N дійсних чисел

A = \ left (x_ {1A}, x_ {2A}, x_ {3A}, ~...~ x_ {NA} \ right).

Незважаючи на те, що інтуїтивно важко уявити собі чотири взаємно перпендикулярні осі, поняття перпендикулярності природним чином узагальнюється з тривимірного простору на випадок чотирьох і більше вимірів. Так, скалярний твір взаємно перпендикулярних векторів у разі N вимірювань також дорівнює нулю.


2. Відстані і теорема Піфагора

Теорема Піфагора в планіметрії визначає співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Оскільки осі координат у декартовій системі перпендикулярні, то відстань між двома точками А і В у двовимірному просторі можна обчислити як довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, довжина катетів якого дорівнює різниці координат точок по кожній з осей:

R_ {AB} ^ 2 = \ left (x_B-x_A \ right) ^ 2 + \ left (y_B-y_A \ right) ^ 2 = \ Delta x_ {AB} ^ 2 + \ Delta y_ {AB} ^ 2.

У тривимірному просторі для прямокутного тетраедра існує аналогічне теоремі Піфагора просте співвідношення між гранями, що описується теоремою де Гуа. Формула для відстані між двома точками також залишається в силі:

R_ {AB} ^ 2 = \ left (x_B-x_A \ right) ^ 2 + \ left (y_B-y_A \ right) ^ 2 + \ left (z_B-z_A \ right) ^ 2 = \ Delta x_ {AB} ^ 2 + \ Delta y_ {AB} ^ 2 + \ Delta z_ {AB} ^ 2.

Аналогічна формула справедлива і для більшого числа вимірів. В N-мірному просторі відстань між двома точками

A = \ left (x_ {1A}, x_ {2A}, x_ {3A}, ~...~ x_ {NA} \ right);
B = \ left (x_ {1B}, x_ {2B}, x_ {3B}, ~...~ x_ {NB} \ right)

можна знайти за формулою:

R_ {AB} ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ N \ left (x_ {iB}-x_ {iA} \ right) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ N \ Delta x_ {iAB} ^ 2.

Евклідова простір однорідно і изотропно, тобто його властивості, в тому числі і формула для відстані, не залежать ні від положення початку координат, ні від напрямку осей координат. Це дає можливість вільно обертати і переносити об'єкти, не змінюючи їх геометричних властивостей.


3. Гіперплощини і підпростору

В N-мірному просторі існують підпростору всіх розмірностей k , Часто звані гіперплощинами або k-площинами, де k - розмірність підпростору. Термін "гіперплоскость" використовується також у вузькому сенсі для позначення підпростору розмірності N-1 ( коразмерності 1). Одномірне підпростір за аналогією зі звичайною геометрією називається прямий, двовимірне підпростір - площиною. Ніякого принципового розходження між k-площиною і k-простором немає. Назва "площину" підкреслює той факт, що об'єкт знаходиться всередині простору більшої розмірності, тобто є підпростором. Наприклад, в 4-просторі звичайне тривимірний простір є 3-площиною.


3.1. Аналітичний опис гіперплощини

З аналітичної геометрії відомо, що пряма в 2-просторі і площина в 3-просторі задаються одним лінійним рівнянням, а пряма в 3-просторі - системою двох лінійних рівнянь. Можна показати, що в просторі розмірності N має місце аналогічна ситуація - підпростір розмірності k задається системою N-k лінійних рівнянь:

~ \ Begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 +...+ a_ {1N} x_N + b_1 = 0 \ \ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 +...+ a_ {2N } x_N + b_2 = 0 \ \ ... \ \ A_ {Nk, 1} x_1 + a_ {Nk, 2} x_2 +...+ a_ {Nk, N} x_N + b_ {Nk} = 0 \ end {cases}

Широко застосовується також завдання підпросторів у вигляді аффінних комбінацій [3]. Так, пряма, що проходить через точки А і В є безліч точок Т з координатами

~ T_ {\ lambda} = A \ lambda + B (1 - \ lambda),

де λ - дійсне число, яке задає на прямий природну параметризацію. Якщо вимагати виконання додаткової умови λ> 0, то безліч точок перетворюється у відрізок з кінцевими точками А і В. Пряма сама по собі є одновимірним евклівдовим простором, визначається двома лежачими на ній точками і збігається зі своєю єдиною координатною віссю.

Аналогічно, площина, що проходить через точки А, В, С, не лежать на одній прямій, описується як безліч точок

~ T_ {\ lambda, \ mu} = A \ lambda + B \ mu + C (1 - \ lambda - \ mu)

або

~ T_ {\ lambda_1, \ lambda_2, \ lambda_3} = A \ lambda_1 + B \ lambda_2 + C \ lambda_3; \ qquad \ lambda_1 + \ lambda_2 + \ lambda_3 = 1,

де λ, μ, λ 1, λ 2, λ 3 - дійсні числа.

Площина є 2-простором, визначається трьома не лежать в одній прямий точками або двома пересічними прямими.

Аксіоми і теореми, що стосуються проходження гіперплоскостей через точки, прямі й гіперплощини, наведено в таблиці нижче.


Проходження гіперплоскостей через гіперплощини меншої розмірності

Аксіоми / теореми N-мірної геометрії Аналогічні аксіоми / теореми планіметрії і стереометрії
  • Через k +1 точок, які не лежать в одній (k-1)-площині проходить єдина k-площину.
  • Через 2 незбіжні точки проходить єдина пряма.
  • Через 3 точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.
  • Через k прямих, що перетинаються в одній точці і не лежать в одній (k-1)-площині, проходить єдина k-площину.
  • Через 2 пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Через гиперплоскости, имеющие в сумме размерность k, пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной (k1)-плоскости, проходит единственная k-плоскость.
  • Через две гиперплоскости размерности p и q, перечесением которых является m-плоскость, проходит единственная гиперплоскость размерности p+qm
  • Через (k1)-плоскость и параллельную ей m-плоскость [4] (0 ≤ m < k) проходит единственная k-плоскость.
  • Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.
  • Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость


Если k-плоскость проходит через точки A 1, A 2, A k, A k+1, то она является множеством точек, определяемым соотношениями

~T_{\lambda_1,\lambda_2, ... \lambda_{k+1}} = \sum_{i=1}^{k+1} A_i \lambda_i; \qquad \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i = 1.

3.2. Пересечение гиперплоскостей

В планиметрии и стереометрии пересечение подпространств различной размерности исчерпываются тремя основными случаями:

  • Две прямые пересекаются в одной точке либо совпадают;
  • Прямая пересекает плоскость в одной точке либо принадлежит ей;
  • Две плоскости пересекаются по прямой либо совпадают.

В пространствах высших размерностей случаи пересечения подпространств гораздо более разнообразны. Рассмотрим две гиперплоскости размерности k и m (k>m). Пусть они заданы системами линейных уравнений с Nk и Nm уравнениями соответственно. Подпространство, являющееся пересечением этих гиперплоскостей, описывается системой 2Nkm уравнений, куда входят уравнения обоих исходных систем:

~\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2+...+a_{1N}x_N + b_1 = 0 \\ ... \\ a_{N-k,1}x_1 + a_{N-k,2}x_2+...+a_{N-k,N}x_N + b_{N-k} = 0 \\ c_{11}x_1 + c_{12}x_2+...+c_{1N}x_N + d_1 = 0 \\ ... \\ c_{N-m,1}x_1 + c_{N-m,2}x_2+...+c_{N-m,N}x_N + d_{N-m} = 0 \end{cases}

Из теории систем линейных уравнений следует, что возможны два принципиально различных случая:

  • ~k+m>N

В этом случае система уравнений неполна и имеет бесконечное множество решений. Если все уравнения системы линейно независимы, пространство решений имеет размерность k+mN, то есть пересечением двух гиперплоскостей будет (k+mN)-плоскость. Если в системе есть линейно зависимые уравнения, размерность пересечения будет больше, причём верхним пределом этой размерности будет меньшая из размерностей пересекающихся гиперплоскостей (когда одна из пересекающихся гиперплоскостей принадлежит другой).

  • ~k+m \leqslant N.

В этом случае количество уравнений в системе больше, чем число переменных, следовательно, для пересечения гиперплоскостей как минимум Nkm уравнений должны быть линейно зависимы. В случае, если число линейно независимых уравнений равно N, решение единственно, и гиперплоскости пересекаются в одной точке. Если число линейно независимых уравнений меньше N, решением системы является подпространство, максимальная размерность которого равна меньшей из размерностей пересекающихся гиперплоскостей (когда одна из пересекающихся гиперплоскостей принадлежит другой).

Таким образом, пересечением двух гиперплоскостей размерности k и m будет гиперплоскость размерности p, причём p лежит в пределах от p min до p max :

~p_{min} = \max(0, k+m-N); \quad p_{max} = \min(k,m).

Из последних соотношений следуют некоторые необычные свойства пересечений в пространствах высшей размерности. Например, пересечением двух обычных плоскостей в 4-пространстве могут быть точка, прямая и плоскость:

~N=4; \quad k=2; \quad m=2 \quad \Rightarrow \quad p_{min}=0; \quad p_{max}=2.

Необходимо отметить также, что в многомерных пространствах плоскости могут перекрещиваться, то есть не пересекаться, но одновременно не быть параллельными. В трёхмерном пространстве перекрещиваться могут только прямые. В общем случае N-пространства две гиперплоскости размерности k и m могут перекрещиваться, если выполняется условие

~k+m<N.

3.3. Параллельность гиперплоскостей

В трёхмерном пространстве две различные плоскости или плоскость и прямая называются параллельными, если они не пересекаются. Аналогичное определение действует для двух прямых при условии, что они лежат в одной плоскости.

В N-пространстве эти правила требуют некоторого видоизменения, поскольку возможны различные варианты перекрещивания плоскостей, когда плоскости не пересекаются, но не параллельны. В общем случае определение параллельных плоскостей таково:

  • в пространстве размерности N две плоскости размерности k и m (m ≤ k) параллельны, если они лежат в пространстве размерности k+1 и не пересекаются.

Например, прямая и плоскость параллельны, если они лежат в одном трёхмерном пространстве и не пересекаются. 3-плоскость параллельна 4-плоскости, если они лежат в одном пятимерном пространстве и не имеют общих точек.

Некоторая неочевидность этого определения говорит о том, что оно обходит стороной существенные черты параллельности. В действительности параллельными являются равноотстоящие гиперплоскости, то есть когда любая точка гиперплоскости меньшей размерности лежит на одном и том же расстоянии от гиперплоскости большей (или равной) размерности. Например, прямая параллельна плоскости, когда любая её точка находится от плоскости на одном и том же расстоянии. Обратное неверно, так как точки плоскости могут лежать на разном расстоянии от параллельной ей прямой.

Из евклидовой геометрии известен признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой.

В N-мерной геометрии признак параллельности гиперплоскостей выглядит так:

  • k-мерная плоскость параллельна m-мерной (m ≤ k), если m пересекающихся в одной точке линейно независимых прямых одной плоскости соответственно параллельны m прямым другой плоскости.

Выражение "пересекающиеся в одной точке линейно независимые прмые" означает, что k пересекающихся прямых не лежат в (k1)-плоскости. Например, три прямые не лежат в одной 2-плоскости, четыре прямые не лежат в трёхмерном пространстве.


4. Многогранники

У тривимірному просторі многогранником называется замкнутая оболочка, состоящая из двумерных многоугольников, называемых гранями. Так как каждая грань является подмножеством 2-плоскости, то выпуклый многогранник можно считать замкнутой областью, которая высечена из 3-пространства определённым образом расположенными плоскостями.

Элементами любого многогранника являются грани, рёбра и вершини. Грани - двумерные многоугольники, составляющие оболочку многогранника. Рёбра - отрезки, являющиеся границами граней и линиями пересечения двух граней. Вершины - крайние точки рёбер; точки, где смыкаются три или более граней.

Поскольку в N-многограннике могут быть грани других размерностей, для общности можно сказать, что вершина является 0-гранью, ребро - 1-гранью, обычная двумерная грань - 2-гранью, грань размерности K - K-гранью, а сам многогранник - своей собственной единственной N-гранью.

Любая грань многогранника сама по себе является многогранником. Так, 2-грань является многоугольником, то есть 2-многогранником, ребро является отрезком, то есть 1-многогранником.

В случае N измерений N-мерным выпуклым многогранником называется внутреннаяя область, высекаемая из N-пространства некоторой совокупностью (N-1)-плоскостей. Оболочка многогранника состоит из (N-1)-граней, которые сами по себе являются (N-1)-многогранниками. Кроме того, в любом N-многограннике имеются грани размерности от 0 до N-1.

Эйлерова характеристика для N-мерного многогранника:

\ Sum_ {i = 0} ^ {N-1} {(-1)} ^ i A_i = 1 + {(-1)} ^ {N-1},

де A i -количество i -мерных граней N-мерного многогранника.

Если же формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, то формулу можно записать в виде

\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.


4.1. Площади и объёмы. Куб

Задача измерения объёма формулируется следующим образом.

Каждому многограннику требуется поставить в соответствие определённую положительную величину таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

  1. Единицей объёма является объём куба с единичным ребром.
  2. Равные многогранники имеют равные объёмы.
  3. Обсяг объединения двух многогранников, не имеющих общих внутренних точек, равен сумме их объёмов.

Как видно из определения, основой для измерения объёма является куб. Обобщим понятие куба на случай N измерений.

В трёхмерном пространстве куб легко получить при помощи простой процедуры: построим три координатные плоскостии из точки с координатами (0, 0, 0) проведём через точку (1, 1, 1) ещё три плоскости, параллельные координатным. Мы получим три пары параллельных плоскостей, отсекающих на координатных осях отрезки единичной длины. Область пространства, ограниченная этими плосоостями, будет 3-кубом. Гранями 3-куба являются шесть 2-кубов, именуемых квадратами. Объём 3-куба равен третьей степени длины его ребра.

Квадрат або 2-куб теж має характеристику, аналогічну обсягом 3-куба. Це площа, яка дорівнює другого ступеня довжини ребра. Відрізок також має схожу за змістом характеристику, яка називається довжиною. У цьому сенсі не існує відмінності між довжиною, площею та обсягом. Довжина є 1-обсягом, а площа - 2-об'ємом.

Аналогічно, N-мірний куб утворюється N парами паралельних (N-1)-площин, тобто має 2N граней, кожна з яких є (N-1)-кубом. Обсяг куба дорівнює

~ V_N = a ^ N,

де ~ A - Довжина ребра. Площа поверхні куба є сума обсягів його граней:

~ S_N = 2Na ^ {N-1}.

Чотиривимірний куб - Тессеракт, пятімерной - пентеракт, шестімерний - хексеракт.


4.2. Призма

У тривимірному просторі призмою називаються два рівних багатокутника, що лежать в паралельних площинах, і відповідні вершини яких з'єднані ребрами.

Аналогічно, N-призмою називаються два (N-1)-багатогранника, які лежать у двох паралельних (N-1)-площинах. Через все відповідні K-межі цих багатогранників проведені (K +1)-площині (це можливо, так як відповідні межі паралельні, а через два паралельних K-площині завжди можна провести (K +1)-площину).

Вихідні (N-1)-багатогранники називаються підставами призми, що обмежують внутрішній об'єм межі старшої розмірності - бічними гранями. Бічні грані самі по собі є (N-1)-призмами.

Так само як в тривимірному випадку, обсяг N-призми дорівнює

~ V_N = SH,

де S - площа (об'єм) підстави, H - висота, виміряна по перпендикуляру до основи.

Окремими випадками цього співвідношення є відомі формули площі паралелограма

~ S = aH

та обсягу 3-призми

~ V = SH.

4.3. Піраміда

Обсяг піраміди

У тривимірному просторі піраміда визначається як багатогранник, одна з граней якого (підстава) - довільний багатокутник, а решта (бічні грані) - трикутники із загальною вершиною.

Піраміда має важливу властивість - будь-паралельне основи перетин піраміди подібно основи. Такий перетин можна представити як проекцію підстави, причому проектують променями будуть ребра бокових граней. Коефіцієнт подібності дорівнює відношення висоти до відстані від вершини до площини перетину.

N-пірамідою називається фігура, що складається з проізвольнго (N-1)-багатогранника (підстави) і ще однієї точки (вершини), не лежить в (N-1)-площині цього багатогранника і з'єднаної ребрами з усіма його вершинами.

Можна сказати також, що внутрішній об'єм піраміди обмежений (N-1)-площинами, які проведені через вершину праміди і кожну з (N-2)-граней його заснування.

Бічні грані піраміди також є пірамідами розмірності N-1. Найпростішою пірамідою (2-пірамідою) є звичайний трикутник. Підставою його є відрізок, і відрізками ж є обидві його бічні грані.

Знайдемо об'єм піраміди. Припустимо, що відома площа підстави S, тобто обсяг вихідного (N-1)-багатогранника. Так як будь-який перетин, паралельне підставі, подібно до нього, то співвідношення площ підстави S і перетину s будуть определеяется (N-1)-м ступенем коефіцієнта подібності:

s = S \ left (\ frac {x} {H} \ right) ^ {N-1}

Обсяг піраміди знайдемо інтегруванням:

V_N = \ int_0 ^ H dV;
dV = sdx = S \ left (\ frac {x} {H} \ right) ^ {N-1} dx;
V_N = \ frac {S} {H ^ {N-1}} \ int_0 ^ H x ^ {N-1} dx = \ frac {S} {N \ cdot H ^ {N-1}} \ left. x ^ N \ right | _0 ^ H = \ frac {S} {N \ cdot H ^ {N-1}} H ^ N = \ frac {SH} {N}.

Отже, обсяг N-піраміди дорівнює

V_N = \ tfrac {1} {N} SH.

Окремими випадками цього співвідношення є відомі формули площі трикутника (трикутник є 2-пірамідою)

S = \ tfrac {1} {2} aH

та обсягу 3-піраміди

V = \ tfrac {1} {3} SH.

5. Сфера і куля

В N-просторі залишається в силі евклидово визначення сфери: N-сферою називається безліч всіх точок простору, віддалених на деяку відстань R від точки, званої центром сфери. Величина R називається радіусом сфери.

В геометрії сферою традиційно вважають оболонку, в яку укладено деякий внутрішній простір, який називається кулею. Проте в N-мірної геометрії дуже часто не роблять різниці між кулею і сферою і об'єм кулі називають обсягом сфери. Також є плутанина з розмірністю сфери. Часто N-сферою називають оболонку (N +1)-мірного кулі. У даній статті N-сферою називається оболонка N-мірного кулі.

Математичне вираження для сфери також традиційно:

x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + ... + X_ {N-1} ^ 2 + x_N ^ 2 = R ^ 2.

Розсічений сферу площиною. Нехай для простоти це буде L-паралельна координатним осям x 1... x L. Рівняння цієї площини буде мати вигляд

x_ {L +1} = C_ {L +1}; \ quad x_ {L +2} = C_ {L +2}; \ quad ... \ Quad x_N = C_N,

де C L +1... C N - деякі постійні.

При вирішенні системи вийде нове рівняння виду

x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + ... + X_L ^ 2 = R ^ 2 - C_ {L +1} ^ 2 - C_ {L +2} ^ 2 - ... - C_N ^ 2.

Таким чином, при перетині N-сфери з L-площиною виходить L-сфера радіуса

r = \ sqrt {R ^ 2 - h ^ 2},

де h - відстань від центру сфери до січної площини:

h = \ sqrt {C_ {L +1} ^ 2 + C_ {L +2} ^ 2 + ... + C_N ^ 2}.

5.1. Обсяг N-сфери

Обсяг N-сфери радіуса R обчислимо як N-кратний інтеграл

V_N (R) = \ underset {\ Omega} {\ iint \ cdots \ int} dx_1dx_2 ... dx_N,

де область інтегрування Ω обмежена поверхнею N-сфери радіуса R:

\ Omega: \ quad x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 +...+ x_N ^ 2 = R ^ 2.

Оскільки всі сфери подібні один друг, і коефіцієнт подібності дорівнює відношенню радіусів, то обсяг N-сфери радіуса R можна виразити через об'єм одиничної сфери наступним співвідношенням:

~ V_N (R) = V_N (1) R ^ N.

Таким чином, завдання зводиться до знаходження обсягу одиничної сфери:

V_N (1) = \ underset {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 +...+ x_N ^ 2 = 1} {\ iint \ cdots \ int} dx_1dx_2 ... dx_N.

Перетворимо останній інтеграл до вигляду

V_N (1) = \ int_ {-1} ^ 1dx_1 \ underset {x_2 ^ 2 +...+ x_N ^ 2 = 1-x_1 ^ 2} {\ iint \ cdots \ int} dx_2 ... dx_N.

Очевидно, що правий (N-1)-кратний інтеграл являє собою обсяг (N-1)-сфери радіуса

r = \ sqrt {1-x_1 ^ 2}.

Його можна виразити через об'єм одиничної (N-1)-сфери як

V_ {N-1} \ left (\ sqrt {1-x_1 ^ 2} \ right) = V_ {N-1} (1) \ left (1-x_1 ^ 2 \ right) ^ \ frac {N-1} {2}.

Тоді інтеграл приводиться до вигляду

V_N (1) = V_ {N-1} (1) \ int_ {-1} ^ 1 \ left (1-x_1 ^ 2 \ right) ^ \ frac {N-1} {2} dx_1.

Зробимо заміну змінних

x_1 ^ 2 = t; \ qquad dx_1 = \ frac {dt} {2 \ sqrt {t}};
V_N (1) = 2 \ cdot V_ {N-1} (1) \ int_0 ^ 1 \ frac {\ left (1-t \ right) ^ \ frac {N-1} {2}} {2 \ sqrt { t}} dt = V_ {N-1} (1) \ cdot \ Beta \ left (\ tfrac {1} {2} ~; \ tfrac {N +1} {2} \ right),

де B - бета-функція.

Використовуючи відомі вирази для бета- і гамма-функцій

\ Beta (a, b) = \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (a + b)}; \ quad \ Gamma (\ tfrac {1} {2}) = \ sqrt { \ pi}; \ quad \ Gamma (n) = (n-1)!; \ quad \ Gamma (x) = (x-1) \ cdot \ Gamma (x-1),

отримаємо рекуррентную формулу для об'єму сфери:

V_ {N} (1) = V_ {N-1} (1) \ cdot \ frac {\ Gamma (\ frac {1} {2}) \ Gamma (\ frac {N +1} {2})} { \ Gamma (\ frac {N +2} {2})} = V_ {N-1} (1) \ cdot \ frac {\ sqrt {\ pi} ~ \ Gamma (\ frac {N +1} {2} )} {\ Gamma (\ frac {N +2} {2})}.

Щоб обчислити обсяг N-сфери, застосуємо її N-1 раз до одиничної одномірної сфері (відрізку), обсяг якої дорівнює 2.

\ Begin {align} V_ {N} (1) & = V_ {1} (1) \ cdot \ frac {\ sqrt {\ pi} ~ \ Gamma (\ frac {N +1} {2})} {\ Gamma (\ frac {N +2} {2})} \ cdot \ frac {\ sqrt {\ pi} ~ \ Gamma (\ frac {N} {2})} {\ Gamma (\ frac {N +1} {2})} \ cdot ... \ Cdot \ frac {\ sqrt {\ pi} ~ \ Gamma (\ frac {3} {2})} {\ Gamma (2)} = \ \ & = \ frac {2 \ cdot \ pi ^ {\ frac { N-1} {2}} \ Gamma (\ frac {3} {2})} {\ Gamma (\ frac {N +2} {2})} = \ frac {2 \ cdot \ pi ^ {\ frac {N-1} {2}} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ Gamma (\ frac {1} {2})} {\ Gamma (\ frac {N +2} {2})} = \ frac {\ pi ^ {\ frac {N} {2}}} {\ Gamma (\ frac {N} {2} +1)} \ end {align}

Отже, ми отримали загальну формулу для об'єму N-сфери [5]

V_N = \ frac {\ pi ^ {\ frac {N} {2}} R ^ N} {\ Gamma (\ frac {N} {2} +1)}.

Для парних N формула приймає вигляд:

~ N = 2k;
\ Gamma (\ tfrac {N} {2} +1) = \ Gamma (k +1) = k! = (\ tfrac {N} {2})!;
V_N = \ frac {\ pi ^ {\ frac {N} {2}} R ^ N} {(\ tfrac {N} {2 })!}.

Для непарних N:

~ N = 2k-1;
\ Begin {align} \ Gamma (\ tfrac {N} {2} +1) & = \ Gamma (k + \ tfrac {1} {2}) = \ left (k-\ tfrac {1} {2} \ right ) \ cdot \ left (k-\ tfrac {3} {2} \ right) \ cdot \ left (k-\ tfrac {5} {2} \ right) \ cdot ... \ Cdot \ tfrac {3} {2} \ cdot \ tfrac {1} {2} \ cdot \ Gamma (\ tfrac {1} {2}) = \ \ & = \ frac {2k-1} {2} \ cdot \ frac {2k-3} {2} \ cdot \ frac {2k-5} {2} \ cdot ... \ Cdot \ frac {3} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ sqrt {\ pi} = \ \ & = \ frac {N} {2} \ cdot \ frac {N-2} {2} \ cdot \ frac {N-4} {2} \ cdot ... \ Cdot \ frac {3} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ sqrt {\ pi} = \ frac {N!!} {2 ^ {\ frac {N +1} {2} }} \ cdot \ sqrt {\ pi}, \ end {align}

де! - Символ подвійного факторіала.

V_N = \ frac {\ pi ^ {\ frac {N-1} {2}} R ^ N2 ^ {\ frac {N +1} {2}}} {N!!}.

Остаточно отримуємо такі формули.

Для парного N:

V_N = \ frac {\ pi ^ {\ frac {N} {2}} R ^ N} {\ frac {N} {2}!}.

Для непарного N:

V_N = \ frac {\ pi ^ {\ frac {N-1} {2}} R ^ N2 ^ {\ frac {N +1} {2}}} {N!!}.
Число
вимірювань
N
Обсяг
кулі
V N
Площа
сфери
S N
~ 1~ 2R~ 2
~ 2~ \ Pi R ^ 2~ 2 \ pi R
~ 3~ \ Tfrac {4} {3} \ pi R ^ 3~ 4 \ pi R ^ 2
~ 4~ \ Tfrac {1} {2} \ pi ^ 2 R ^ 4~ 2 \ pi ^ 2 R ^ 3
~ 5~ \ Tfrac {8} {15} \ pi ^ 2 R ^ 5~ \ Tfrac {8} {3} \ pi ^ 2 R ^ 4
~ 6~ \ Tfrac {1} {6} \ pi ^ 3 R ^ 6~ \ Pi ^ 3 R ^ 5
~ 7~ \ Tfrac {16} {105} \ pi ^ 3 R ^ 7~ \ Tfrac {16} {15} \ pi ^ 3 R ^ 6
~ 8~ \ Tfrac {1} {24} \ pi ^ 4 R ^ 8~ \ Tfrac {1} {3} \ pi ^ 4 R ^ 7
~ 9~ \ Tfrac {32} {945} \ pi ^ 4 R ^ 9~ \ Tfrac {32} {105} \ pi ^ 4 R ^ 8
~ 10~ \ Tfrac {1} {120} \ pi ^ 5 R ^ {10}~ \ Tfrac {1} {12} \ pi ^ 5 R ^ 9

6. Перетворення гіперпростору

6.1. Рухи

Як говорилося вище, евклидово простір мається на увазі однорідним і ізотропним, тому в ньому існують ізометричні перетворення, зокрема паралельний перенос.

6.1.1. Повороти

Розглянемо однопараметричне повороти, тобто повороти, що задаються одним числом, званим кутом повороту.

Головна властивість однопараметричної повороту полягає в тому, що всі точки, отримані з вихідної точки шляхом повороту на всілякі кути, лежать в одній площині і утворюють в ній коло.

Прикладом однопараметричної повороту може служити поворот навколо точки у звичайній 2-площині і поворот навколо осі в тривимірному просторі. Поворот навколо точки в тривимірному просторі не є однопараметричним, так як дає сферу, кожна точка якої має дві координати.

З'ясуємо вид геометричного тіла, навколо якого відбувається однопараметричної поворот в N-просторі. Будемо називати цей об'єкт "віссю", хоча насправді він в загальному випадку не є прямою. Розглянемо площину, в якій відбувається рух точки. Очевидно, що 1) площину обертання повинна бути перпендикулярна осі, 2) вісь повинна перетинатися з площиною в одній точці, так як поворот в площині можливий тільки навколо точки; 3) у всіх площинах, паралельних даній, поворот навколо осі повинен відбуватися аналогічним чином, т.е вісь повинна перетинати всі паралельні площини простору в одній точці і безліч всіх точок перетину осі з паралельними площинами і становитимуть саму вісь.

Розглянемо N-простір з декартовій системою координат і проведемо вихідну площину через дві координатні осі (для визначеності візьмемо координатні осі x N-1 і x N). Вона буде задовольняти рівнянням:

~ \ Alpha: \ quad x_1 = 0; \ quad x_2 = 0; \ quad ... \ Quad x_ {N-2} = 0.

Рівняння площин, паралельних вихідної в загальному вигляді записуються як

~ \ Beta: \ quad x_1 = C_1; \ quad x_2 = C_2; \ quad ... \ Quad x_ {N-2} = C_ {N-2}.

де C i - будь-які постійні.

Кожному набору з N-2 таких констант відповідає одна площина, паралельна даній. Для того, щоб при перетині з будь-якої такої площиною вісь давала єдину точку, система рівнянь осі, очевидно, повинна мати наступний вигляд:

~ A: \ quad x_ {N-1} = C_ {N-1}; \ quad x_N = C_N.

Це рівняння площини розмірності N-2.

Таким чином, в N-просторі однопараметричної поворот можливий тільки навколо площині розмірності N-2. Навколо площин вищих розмірностей поворот неможливий взагалі, а навколо площин нижчих розмірностей не буде однопараметричним.

Однопараметричної поворот навколо координатних площин так само як у дво-і тривимірному випадках задається формулою

~ \ Begin {pmatrix} x'_a \ \ x'_b \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \ \ \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {pmatrix } \ begin {pmatrix} x_a \ \ x_b \ end {pmatrix}.

6.2. Подоба

Подібними називаються дві фігури, одну з яких можна відобразити на іншу, причому всі відстані між будь-якими точками однієї фігури пропорційні відстаням між відповідними точками інший. Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнт подібності.

Відомо, що площі подібних постатей ставляться як квадрати коефіцієнтів подібності. Аналогічно, обсяги подібних N-мірних фігур ставляться один до одного як коефіцієнт подібності в ступені N.

Примітки

  1. Еренфест П. Яким чином у фундаментальних законах фізики проявляється те, що простір має три виміри?
    В кн.: Горелик Г. Є. Розмірність простору: Історико-методологічний аналіз. - М.: Изд-во МГУ, 1983. - 216 с. - С. 197-205.
    Оригінал статті:
    Ehrenfest P. In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions? - Proc. Amsterdam Acad., 1917, v. 20, p. 200-209.
  2. Джемс У. Психологія - psylib.org.ua/books/james02/index.htm / Под ред. Л.А. Петровської. М.: Педагогіка, 1991.
  3. Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М. К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1981. - 344 с.
  4. Точка формально є 0-площиною. Вважається, що вона завжди паралельна будь-який інший гіперплощини, якщо не належить їй.
  5. Арамановіч І.Г., Гутер Р.С., Люстерник Л.А. Математичний аналіз. Диференціювання та інтегрування - reslib.com/book/47356. - М: ГІФМЛ. - 1961. - C. 309.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Евклідова геометрія
Евклідова геометрія
Мірна ікона
Лой, Мірна
Евклідова простір
Геометрія
Кільце (геометрія)
Сакральна геометрія
Градус (геометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru