R-функція

R-функція (функція Рвачева) - числова функція дійсних змінних, знак якої цілком визначається знаками її аргументів при відповідному розбитті числової осі на інтервали (- \ Infty, 0) і [0, \ infty) . Вперше R-функції були введені в роботах В. Л. Рвачева [1] [2] [3].


1. Визначення

Числова функція z = z (x, \; y) називається R-функцією, якщо існує така супровідна булева функція \ Phi \; з тим же числом аргументів, що

\ Mathrm {sign} (z) = \ Phi (\ mathrm {sign} (x), \; \ mathrm {sign} (y)).

Аналогічно вводиться поняття R-функції при кількості аргументів n \;> \; 2.

Кожній R-функції відповідає єдина супроводжує булева функція. Зворотне невірно: однієї і тієї ж булевої функції відповідає нескінченне число (гілка) R-функцій.

Безліч R-функцій замкнуто в сенсі суперпозиції R-функцій. Система R-функцій \ Mathcal {H} називається достатньо повною, якщо множина всіх суперпозицій елементів \ Mathcal {H} (Безліч \ Mathcal {H} -Реалізованих функцій) має непорожній перетин з кожною гілкою безлічі R-функцій. Достатньою умовою повноти є повнота системи \ Mathcal {H} ^ * відповідних супроводжуючих булевих функцій.


2. Повні системи R-функцій

Найбільш часто використовуваної повною системою R-функцій є система \ Mathcal {R} _ \ alpha (При -1 <\ Alpha \ leq 1 ):

x \ wedge_ \ alpha y \ equiv \ frac {1} {1 + \ alpha} (x + y-\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2-2 \ alpha xy}),
x \ vee_ \ alpha y \ equiv \ frac {1} {1 + \ alpha} (x + y + \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2-2 \ alpha xy}),
\ Bar {x} \ equiv-x.

При \ Alpha = 0 \; маємо систему \ Mathcal {R} _0 :

x \ wedge_0 y \ equiv x + y-\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, \ quad x \ vee_0 y \ equiv x + y + \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, \ quad \ bar { x} \ equiv-x.

При \ Alpha = 1 \; маємо систему \ Mathcal {R} _1 :

x \ wedge_1 y \ equiv \ frac {1} {2} (x + y-| xy |), \ quad x \ vee_1 y \ equiv \ frac {1} {2} (x + y + | xy |), \ quad \ bar {x} \ equiv-x.

В останньому випадку R-функції кон'юнкції і диз'юнкції збігаються з відповідними t-нормою і t-конормой нечіткої логіки :

x \ wedge y \ equiv \ min (x, y), \ quad x \ vee y \ equiv \ max (x, y).

3. Додатки

За допомогою R-функцій виявляється можливим побудова в неявній формі рівнянь границь складових областей по відомим рівнянням простих областей. Опис кордону складної області у вигляді єдиного аналітичного вираження дозволяє створювати структури рішення крайових задач математичної фізики, що залежать від невизначених компонент і точно задовольняють граничним умовам. Невизначені компоненти таких структур можуть далі знаходитися одним з варіаційних або проекційних методів розв'язання крайових задач (колокації, Релея-Рітца, Бубнова-Гальоркіна-Петрова, найменших квадратів). Метод розв'язання крайових задач для рівнянь в приватних похідних на основі теорії R-функцій носить назву структурного методу R-функцій або, в зарубіжній літературі, RFM (R-Functions Method).

R-функції можна розглядати як інструмент бесконечнозначной логіки або нечіткої логіки.

R-функції використовуються (в основному вихідцями з харківської школи) при вирішенні широкого класу задач математичної фізики ( теорії пружності [4] [5] [6] [7] [8], електродинаміки [9] [10], теорії теплопровідності [11] [12] [13] [14]), а також в багатовимірної цифровій обробці сигналів і зображень [15], машинній графіці та інших областях.


4. Недосткі R-функцій

Метод R-функцій позиціонувався творцем і його школою, як універсальний, однак на практиці виявилося, що він суперечить основним теоріям наближень і його доцільно використовувати лише для вирішення завдань аналітичної геометрії та деяких приватних крайових задач.

Основні недоліки методу R-функцій: [16] [17] [18]

  • в міру ускладнення кордону області (поверхні), процес побудови R-функції ускладнюється, аналітичні вирази стають настільки громіздкими і малопридатними для практичних розрахунків. Метод R-функцій зустрічає ті ж труднощі, що і поліноми
  • R-функції математично точно описують кути складових областей і ребра тел. У реальному фізичному світі всі грані володіють округленими, при математично точному описі похідні на кордонах кутів і ребер виявляються нескінченними. Подібна ідеалізація приводить до принципової неможливості вирішити деякі завдання
  • R-функції містять розривні похідні в кутах і на ребрах описуваних областей, це призводить до виникнення фіктивних сингулярних особливостей в просторі С 2 і, відповідно, до розвалу ітераційного процесу при вирішенні задач оптимізації та управління освітою форм. Щоб піти від неінтегріруемих особливостей в рішеннях крайових задач дослідники змушені невласні інтеграли в проекційних методах замінювати інтегралами, що мають кінцеві значення, що зводить математичні методи до наближених підходам і призводить до неприпустимих погрішностей для задач з високими градієнтами шуканої функції, а так само робить неможливою оптимізацію рішення відповідних завдань і створення методичних рекомендацій щодо їх вирішення.
  • Через розривних похідних вирази з R-функціями вступають у протиріччя з теоремами Канторовича і Кнастер-Тарського, що робить їх непридатними для галузі обчислювальної інформатики.

Для подолання недоліків R-функцій та методу R-функцій створені PS-функції і класи S-функцій, а так само регіонально-структурний метод і його модифікації.


Примітки

  1. Рвачев В. Л. Геометричні додатки алгебри логіки. - Київ: Техніка, 1967.
  2. Рвачев В. Л. Методи алгебри логіки в математичній фізиці. - Київ: Наук. думка, 1974.
  3. Рвачев В. Л. Теорія R-функцій та деякі її застосування. - Київ: Наук. думка 1982.
  4. Рвачев В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учішвілі Л. А. Метод R-функцій в задачах про вигині і коливаннях пластин складної форми. - Київ: Наукова думка, 1973.
  5. Рвачев В. Л., Проценко В. С. Контактні задачі теорії пружності для некласичних областей. - Київ: Наукова думка, 1977.
  6. Рвачев В. Л., Курпа Л. В. R-функції в задачах теорії пластин. - Київ: Наукова думка 1987.
  7. Рвачев В. Л., Синєкоп Н. С. Метод R-функцій у задачах теорії пружності і пластичності. - Київ: Наукова думка 1990.
  8. Победря Б. Є. Чисельні методи в теорії пружності і пластичності. - М.: Изд-во МГУ, 1995.
  9. Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра і методи апроксимації в крайових задачах електродинаміки. - М.: Физматлит, 2004.
  10. Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л. Алгебра логіки, атомарні функції та вейвлети в фізичних додатках. - М.: Физматлит, 2006.
  11. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логічні та проекційні методи в задачах теплообміну. - Київ: Наук. думка, 1978.
  12. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвєєв В. А. Математичне моделювання фізичних процесів в гіроскопії. - М.: Радіотехніка, 2005.
  13. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвєєв В. А. Методи моделювання та цифрової обробки сигналів в гіроскопії. - М.: Физматлит, 2008.
  14. Матвєєв В. А., Лунін Б. С., Басараб М. А. Навігаційні системи на хвильових твердотільних гіроскопах. - М.: Физматлит, 2008.
  15. Цифрова обробка сигналів та зображень в радіофізичних додатках / Под ред. В. Ф. Кравченко. - М.: Физматлит, 2007.
  16. Слесаренко А.П. S-функції в зворотних задачах аналітичної геометрії та моделюванні теплових процесів. / А. П. Слесаренко / / Східно-Європейський журнал передових технологій. - 2011. - Т3, № 4 (51). - С. 41-46.
  17. Слесаренко А. П. S-функції в зворотних задачах диференціальної геометрії і управлінні освіти форм / А. П. Слесаренко / / Східно-Європейський журнал передових технологій. - 2012. - Т1, № 4 (55). - С. 4-10.
  18. Кобріновіч Ю.О. Регіонально-структурний та структурно-різницевий методи в математичному моделюванні. / / Технологічний аудит та резерви виробництва. Спецвипуск: Матеріали міжнародної наукової конференції "Наукова періодика слов'янських країн в умовах глобалізації" - Ч.1 - Том "Інформаційні технології. Математичне моделювання". - Київ, 2012. - С. 45-46.