Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

U (1)



План:


Введення

U (1) ( унітарна група порядка 1) в математики - мультиплікативна абелева група всіх комплексних чисел, рівних по модулю одиниці: \ {Z \ in \ mathbb C: | z | = 1 \} . Є також одномірної групою Лі і являє собою окружність. Ізоморфна групі S O (2) обертань двовимірного речового простору.


1. Назви і позначення

Група називається унітарною, так як комплексне число, по модулю рівне одиниці, можна розуміти як унітарну матрицю розміру 1 \ times 1 . Дана група природним чином ізоморфна групі S O (2) обертань речовій площині (так як комплексну площину можна розглядати як речовий двовимірне простір). Позначається іноді як T або \ Mathbb T у зв'язку з тим, що квадрат цієї групи \ Mathbb T \ times \ mathbb T являє собою тор; в деяких областях математики торами називають твори кількох груп \ Mathbb T , Не обов'язково двох; див. напр. Максимальний тор.

U (1) згадується також як комплексна (одинична) коло (у комплексному аналізі: \ Partial D ) Або просто "коло" ( S або S 1 ).


2. Деякі властивості

Група U (1) компактна, і є єдино можливою (речової) одномірної компактною і зв'язковий групою Лі. У будь компактної групі Лі позитивної розмірності можна знайти підгрупу, изоморфную U (1) .

Група U (1) не є однозв'язна.

3. Елементарне тлумачення

Додавання кутів:
150 + 270 = 60

Елементи групи U (1) визначають, фактично, величину кута : комплексне число z можна записати як z = e i φ (Причому φ буде вже речовим), а множення комплексних чисел перейде в складання кутів. Таким чином, групу U (1) можна розуміти як групу поворотів кола, або ж групу поворотів S O (2) всій площині навколо початку координат.

Кути, що розрізняються на ціле число обертів ( n , Якщо міряти кут в радіанах), будуть збігатися. Наприклад, сума двох поворотів на 120 ^ \ circ = 2 \ pi / 3 і 240 ^ \ circ = 4 \ pi / 3 буде дорівнює нулю. Таким чином, група U (1) ізоморфна фактор-групі {\ Mathbb R} / 2 \ pi {\ mathbb Z} групи речових чисел по модулю . Якщо вимірювати кут в оборотах ( 2 \ pi = 360 ^ \ circ ), То U (1) \ approx {\ mathbb R} / {\ mathbb Z} - Група дробових частин дійсних чисел.


4. Застосування

U (1) є найважливішим об'єктом в теорії подвійності Понтрягина; через неї визначається перетворення Фур'є. Часто використовується в будь-якому контексті, вовлекающее комплексні числа, часто без прямого її згадки як групи (" множення на число, по модулю рівне одиниці "і т. д.).

В фізики калібрувальна U (1) -Теорія - електродинамікарівняннями Максвелла в якості класичних рівнянь руху). В квантової механіки U (1) - "Фізично неможливо розрізнити" перетворення вектора стану системи, що не міняють нічого спостережуваного (тобто не змінюють нічого, в принципі доступного спостереженню) ..


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru