Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Z-перетворення



План:


Введення

Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел в тимчасовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти E (n) = z - n = r - n e - i ω n , Тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.


1. Визначення

Z-перетворення, як і багато інтегральні перетворення, може бути задано як одностороннє і двостороннє

1.1. Двостороння Z-перетворення

Двостороння Z-перетворення X (z) дискретного тимчасового сигналу x [n] задається як:

X (z) = Z \ {x [n] \} = \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {-n} \

де n - ціле, z - комплексне число.

z = A e ^ {j \ varphi} \

де A - амплітуда, а \ Varphi - Кутова частота (в радіанах на відлік)


1.2. Одностороннє Z-перетворення

У випадках, коли x [n] визначена тільки для n \ ge0 , Одностороннє Z-перетворення задається як:

X (z) = Z \ {x [n] \} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] z ^ {-n} \

2. Зворотне Z-перетворення

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

x [n] = Z ^ {-1} \ {X (z) \} = \ frac {1} {2 \ pi j} \ oint \ limits_ {C} X (z) z ^ {n-1} dz \

де C - Контур, що охоплює область збіжності X (z) . Контур повинен містити всі відрахування X (z) \ .

Поклавши в попередній формулі z = r e j φ , Одержимо еквівалентне визначення:

x [n] = \ frac {r ^ {n}} {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} X (re ^ {j \ varphi}) e ^ {jn \ varphi} d \ varphi


3. Область збіжності

Область збіжності представляє з себе деяку множину точок на комплексній площині, в яких виконана умова: OC = \ left \ {z: \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {-n} <\ infty \ right \} \

тобто сума по членам перетворення є кінцевою.

3.1. Приклад 1 (без області збіжності)

Нехай x [n] = 0.5 ^ n \ . Розкриваючи x [n] \ на інтервалі (- \ Infty, \ infty) \ , Отримуємо

x [n] = \ {..., 0.5 ^ {-3}, 0.5 ^ {-2}, 0.5 ^ {-1}, 1, 0.5, 0.5 ^ 2, 0.5 ^ 3, ... \} = \ {..., 2 ^ 3, 2 ^ 2, 2, 1, 0.5, 0.5 ^ 2, 0.5 ^ 3, ... \} \.

Дивимося на суму:

\ Sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x [n] z ^ {-n}> \ infty \.

Тому, не існує таких значень z \ , Які б задовольняли умові збіжності.


4. Таблиця деяких Z-перетворень

Позначення:

  • u [n] = 1 для n> = 0, u [n] = 0 для n <0
  • δ [n] = 1 для n = 0, інакше δ [n] = 0
Сигнал, x [n] Z-перетворення, X (z) Область збіжності
1 \ Delta [n] \,1 \,\ Forall z \,
2 \ Delta [n-n_0] \,\ Frac {1} {z ^ {n_0}}z \ neq 0 \,
3 u [n] \,\ Frac {z} {z-1}| Z |> 1 \,
4 a ^ n u [n] \,\ Frac {1} {1-a z ^ {-1}}| Z |> | a | \,
5 n a ^ n u [n] \,\ Frac {az ^ {-1}} {(1-a z ^ {-1}) ^ 2}| Z |> | a | \,
6 -A ^ n u [-n-1] \,\ Frac {1} {1-a z ^ {-1}}| Z | <| a | \,
7 -N a ^ n u [-n-1] \,\ Frac {az ^ {-1}} {(1-a z ^ {-1}) ^ 2}| Z | <| a | \,
8 \ Cos (\ omega_0 n) u [n] \,\ Frac {1-z ^ {-1} \ cos (\ omega_0)} {1-2z ^ {-1} \ cos (\ omega_0) + z ^ {-2}}| Z |> 1 \,
9 \ Sin (\ omega_0 n) u [n] \,\ Frac {z ^ {-1} \ sin (\ omega_0)} {1-2z ^ {-1} \ cos (\ omega_0) + z ^ {-2}}| Z |> 1 \,
10 a ^ n \ cos (\ omega_0 n) u [n] \,\ Frac {1-az ^ {-1} \ cos (\ omega_0)} {1-2az ^ {-1} \ cos (\ omega_0) + a ^ 2 z ^ {-2}}| Z |> | a | \,
11 a ^ n \ sin (\ omega_0 n) u [n] \,\ Frac {az ^ {-1} \ sin (\ omega_0)} {1-2az ^ {-1} \ cos (\ omega_0) + a ^ 2 z ^ {-2}}| Z |> | a | \,

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Проективне перетворення
Схема перетворення
Перетворення Мебіуса
Перетворення Гільберта
Дуальне перетворення
Вейвлет-перетворення
Перетворення Радона
Канонічне перетворення
Білінійної перетворення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru