θ-функція

Тета-функції - спеціальні цілі функції, відносини яких представляють еліптичні функції. Основні чотири тета-функції визначаються наступними швидко збіжними рядами :

\ Theta_1 (z, q) = 2q ^ {1/4} \ sin z \ - \ 2q ^ {9/4} \ sin3z \ + \ 2q ^ {25/4} \ sin5z \ + \ \ ldots,

\ Theta_2 (z, q) = 2q ^ {1/4} \ cos z \ + \ 2q ^ {9/4} \ cos3z \ + \ 2q ^ {25/4} \ cos5z \ + \ \ ldots,

\ Theta_3 (z, q) = 1 \ + \ 2q \ cos 2z \ + \ 2q ^ 4 \ cos4z \ + \ 2q ^ 9 \ cos6z \ + \ \ ldots,

\ Theta_4 (z, q) = 1 \ - \ 2q \ cos 2z \ + \ 2q ^ 4 \ cos4z \ - \ 2q ^ 9 \ cos6z \ + \ \ ldots, де | Q | \ <\ 1 .

При додаванні \ \ Pi до аргументу z \ ці функції набувають відповідно множники -1, -1, 1, 1, а при додаванні \ \ Pi \ tau , Де \ \ Tau пов'язане з \ Q співвідношенням \ Q = e ^ {\ pi \ iota \ tau} , Множники -N, \ N, \ N, \-N \ (N = q ^ {-1} e ^ {-2 \ iota k} . Звідси випливає, що, наприклад, відношення \ Vartheta_1 (z) / \ vartheta_4 (z) являє мероморфних функцію, що не змінюється при додаванні до аргументу \ 2 \ pi або \ \ Pi \ tau , Тобто еліптичну функцію з періодами \ 2 \ pi або \ \ Pi \ tau .

Узагальненням зазначених Т.-ф., введених К. Якобі (позначення Якобі декілька інші), є тета-функції, побудовані А. Пуанкаре для представлення автоморфних функцій.


Література

  • Уіттекер Е.-Т., Ватсон Дж. - Н., Курс сучасного аналізу, пер. з англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.