Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

e (число)



План:


Введення

Не слід плутати з Числами Ейлера I роду.
Не слід плутати з постійної Ейлера.
Площа області під графіком y = 1 / x на інтервалі 1 ≤ xe дорівнює 1.
e - це деяке число a, таке, що значення похідної (нахил лінії тангенса) показовою функції f (x) = a x (синя крива) в точці x = 0 дорівнює 1 (червона лінія). Для порівняння показані функція 2 x (точкова крива) і 4 x (пунктирна крива); тангенс лінії нахилу яких не дорівнює 1

e - математична константа, підстава натурального логарифма, трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера або числом Непера. Позначається рядкової латинською літерою " e ". Чисельне значення [1] :

\ E = 2 {,} 718 \; 281 \; 828 \; 459 \; 045 \; 235 \; 360 \; 287 \; 471 \; 352 \; 662 \; 497 \; 757 \; \ ldots (Послідовність A001113 в OEIS)

Число e грає важливу роль в диференціальному і інтегральному обчисленні, а також у багатьох інших розділах математики.


1. Способи визначення

Число e може бути визначено кількома способами.


2. Властивості


3. Історія

Дане число іноді називають неперово на честь шотландського вченого Непера, автора роботи "Опис дивовижної таблиці логарифмів" ( 1614). Однак ця назва не зовсім коректно, оскільки у нього логарифм числа x був рівний 10 ^ 7 \ cdot \, \ log_ {1 / e} \ left (\ frac {x} {10 ^ 7} \ right) \, \! .

Вперше константа негласно присутня в додатку до перекладу на англійську мову вищезгаданої роботи Непера, опублікованому в 1618. Негласно, тому що там міститься тільки таблиця натуральних логарифмів, визначених з кінематичних міркувань, сама ж константа не присутній.

Передбачається, що автором таблиці був англійський математик Отред.

Саму ж константу вперше обчислив швейцарський математик Бернуллі в ході виконання завдання про граничну величиною процентного доходу. Бернуллі показав, що відсотковий дохід у випадку складного відсотка має межу: \ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n. і ця межа дорівнює 2,71828 ...

Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася буквою b, зустрічається в листах Лейбніца Гюйгенсу, 1690 - 1691 роки.

Букву e почав використовувати Ейлер в 1727, а першою публікацією з цією буквою була його робота "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично" 1736. Відповідно, e зазвичай називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі учені використовували букву c, буква e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому була вибрана саме буква e, точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential ("показовий", "експонентний"). Інше припущення полягає в тому, що букви a, b, c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях, і e була першою "вільної" буквою.


4. Наближення

  • Число можна запам'ятати як 2, 7 і повторювані 18, 28, 18, 28.
  • Мнемонічне правило: два і сім, далі два рази рік народження Льва Толстого ( 1828), потім кути рівнобедреного прямокутного трикутника (45, 90 і 45 градусів). Віршована мнемофраза, що ілюструє частина цього правила: "Експоненту пам'ятати спосіб є простий: два і сім десятих, двічі Лев Толстой"
  • Цифри 45, 90 і 45 можна запам'ятовувати як "рік перемоги над фашистською Німеччиною, потім двічі цей рік і знову він".
  • Мнемонічне вірш, що дозволяє запам'ятати перші 12 знаків після коми (довжини слів кодують цифри числа e): Ми пурхали і блищали, / Але застрягли в перевалі: / Не визнали наші крали / Авторалі.
  • Правила e зв'язується з президентом США Ендрю Джексоном : 2 - стільки разів обирався, 7 - він був сьомим президентом США, 1828 - рік його обрання, повторюється двічі, оскільки Джексон двічі обирався. Потім - рівнобедрений прямокутний трикутник.
  • З точністю до трьох знаків після коми через " число диявола ": потрібно розділити 666 на число, складене з цифр 6-4, 6-2, 6-1 (три шістки, з яких у зворотному порядку видаляються три перші ступені двійки): {666 \ over 245} \ approx 2,718 .
  • Запам'ятовування e як \ Frac {666} {10 \ cdot \ sqrt {666} - 13} (З точністю менше 0.001).
  • Грубе (з точністю до 0,001) наближення вважає e рівним \ Pi \ cdot \ cos {\ pi \ over 6} . Зовсім грубе (з точністю 0,01) наближення дається виразом 5 \ cdot \ pi - 13 .
  • "Правило Боїнга ": e \ approx 4 \ cdot \ sin 0,747 дає точність 0,0005.
  • З точністю до 10 - 7 : \, \, \, \, E \, \ approx \, 3 - \ sqrt {\ frac {5} {63}} \, \, \,, з точністю 10 ^ {-9} \ to e \ approx 2,7 + \ frac {1828} {99990}, а з точністю 4,6 \, \ cdot \, 10 ^ {-10} \, \, \ to \, \, e \, \ approx \, 3 - \ frac {93} {94} \ sqrt {\ frac {3} {37}}
  • Число 19 / 7 перевершує число е менш ніж на 0,004;
 Число 87/32 перевершує число е менш ніж на 0,0005; Число 193/71 перевершує число е менш ніж на 0,00003; Число 1264/465 перевершує число е менш ніж на 0,000003; Число 2721/1001 перевершує число е менш ніж на 0,0000002; Число 23225/8544 перевершує число е менш ніж на 0,00000001. 

5. Доказ ірраціональності

Припустимо, що \! E раціонально. Тоді \! E = p / q , Де \! P - Ціле, а \! Q - Натуральне. Отже

\! P = eq

Примножуючи обидві частини рівняння на \! (Q-1)! , Отримуємо

p (q-1)! = Eq! = Q! \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {1 \ over n!} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {q! \ over n!} = \ sum_ {n = 0} ^ q { q! \ over n!} + \ sum_ {n = q +1} ^ \ infty {q! \ over n!}

Переносимо \ Sum_ {n = 0} ^ q {q! \ over n!} в ліву частину:

\ Sum_ {n = q +1} ^ \ infty {q! \ over n!} = p (q-1)! - \ Sum_ {n = 0} ^ q {q! \ over n!}

Всі складові правої частини цілі, отже, і сума в лівій частині - ціла. Але ця сума і позитивна, значить, вона не менше 1. З іншого боку,

\ Sum_ {n = q +1} ^ \ infty {q! \ over n!} = \ sum_ {m = 1} ^ \ infty {q! \ over (q + m)!} = \ Sum_ {m = 1 } ^ \ infty {1 \ over (q +1 )...( q + m)} <\ sum_ {m = 1} ^ \ infty {1 \ over (q +1) ^ m}

Підсумовуючи геометричну прогресію в правій частині, одержуємо:

\ Sum_ {n = q +1} ^ \ infty {q! \ over n!} <{1 \ over q}

Оскільки q \ ge 1 ,

\ Sum_ {n = q +1} ^ \ infty {q! \ over n!} <1

Отримуємо протиріччя.


6. Відкриті проблеми


7. Цікаві факти

  • В IPO компанії Google в 2004 було оголошено про намір компанії збільшити свою прибуток на 2718281828 доларів. Заявлене число являє собою перші 10 цифр відомої математичної константи.
  • У мовах програмування символу e в експоненційної запису чисел відповідає число 10, а не Ейлерови число. Це пов'язано з історією створення та використання мови FORTRAN для математичних обчислень [10].

Примітки

  1. 2000000 цифр після коми - antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil
  2. Weisstein, Eric W. Міра ірраціональності - mathworld.wolfram.com / IrrationalityMeasure.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. Weisstein, Eric W. Ірраціональне число - mathworld.wolfram.com / IrrationalNumber.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. Weisstein, Eric W. Pi - mathworld.wolfram.com / Pi.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  5. Weisstein, Eric W. E - mathworld.wolfram.com / e.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. en: Irrational number # Open questions
  7. Some unsolved problems in number theory - www.math.ou.edu/ ~ jalbert/courses/openprob2.pdf
  8. Weisstein, Eric W. Трансцендентне число - mathworld.wolfram.com / TranscendentalNumber.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  9. An introduction to irrationality and transcendence methods - www.math.jussieu.fr/ ~ miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf
  10. Еккель Б. Філософія Java = Thinking in Java - 4-е изд. - СПб. : Питер, 2009. - С. 84. - (Бібліотека програміста). - ISBN 978-5-388-00003-3.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
80 (число)
31 (число)
-1 (Число)
30 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
26 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru