Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ізоморфізм



План:


Введення

Ізоморфізм - це дуже загальне поняття, яке вживається в різних розділах математики. У загальних рисах його можна описати так: Нехай дано дві множини з певною структурою ( групи, кільця, лінійні простори і т. п.). Біекція між ними називається ізоморфізмом, якщо вона зберігає цю структуру. Якщо між такими множинами існує ізоморфізм, то вони називаються ізоморфними. Ізоморфізм завжди задає відношення еквівалентності на класі таких множин зі структурою.

Об'єкти, між якими існує ізоморфізм, є в певному сенсі "однаково влаштованими", вони називаються ізоморфними. Класичним прикладом ізоморфних систем можуть служити безліч \ Mathbb R всіх дійсних чисел з визначеною на ньому операцією складання і безліч \ Mathbb R_ + позитивних дійсних чисел із заданою на ньому операцією множення. Відображення x \ mapsto \ exp (x) в цьому випадку є ізоморфізмом.


1. Абстрактна алгебра

В абстрактної алгебри изоморфизмом називається біекція, яка є гомоморфізмом.

2. Групи

Нехай G і H - Дві групи. Біекція f: G \ to H називається ізоморфізмом, якщо для будь-яких a, \; b \ in G

f (a) f (b) = f (a b) .

Якщо група є топологічної, додається умова гомеоморфними відповідних топологічних просторів. [1]


3. Кінцеві поля

Нехай F_1 ~ і F_2 ~ - Кінцеві поля. Біекція f: F_1 \ to ~ F_2 називається ізоморфізмом, якщо для будь-яких a, \; b \ in F_1 виконується

  1. f (a) \ oplus ^ 2 f (b) = f (a \ oplus ^ 1 b) ,
  2. f (a) \ bullet ^ 2 f (b) = f (a \ bullet ^ 1 b) ,

де " \ Bullet ^ 1 ~ "," \ Bullet ^ 2 ~ "І" \ Oplus ^ 1 ~ "," \ Oplus ^ 2 ~ "- Операції множення і додавання в полях F_1 ~ і F_2 ~ відповідно.


4. Теорія категорій

У теорії категорій ізоморфізм є оборотний морфізм, тобто морфізм \ Varphi \! , Для якого існує такий морфізм \ Varphi ^ {-1} \! , Що твори \ Varphi ^ {-1} \ circ \ varphi і \ Varphi \ circ \ varphi ^ {-1} - Тотожні морфізм.

5. Теорія операторів / Функціональний аналіз

Обмежений лінійний оператор T між нормованими просторами називається ізоморфізмом, якщо існує позитивне дійсне число c таке, що \ LVert Tx \ rVert \ geqslant c \ lVert x \ rVert для всіх векторів x . Будь ізоморфізм є взаємно-однозначним. Легко бачити, що T є ізоморфізмом тоді й тільки тоді, коли T звернемо на своєму образі, і зворотний оператор обмежений. Кажуть, що два нормованих простору є ізоморфними, якщо знайдеться сюр'ектівний ізоморфізм з одного з них на інше.


6. Теорія графів

Граф G називається ізоморфним графу H , Якщо існує біекція f з безлічі вершин графа G в безліч вершин графа H , Що володіє наступною властивістю: якщо у графі G є ребро з вершини A в вершину B , То в графі H повинно бути ребро з вершини f (A) в вершину f (B) і навпаки - якщо в графі H є ребро з вершини A в вершину B , То в графі G повинно бути ребро з вершини f - 1 (A) в вершину f - 1 (B) . У випадку орієнтованого графа ця біекція також повинна зберігати орієнтацію ребра. У випадку зваженого графа біекція також повинна зберігати вагу ребра.

В теорії обчислювальної складності до цих пір є відкритим питання про складність завдання ізоморфності графів. На даний момент не доведена ні її приналежність класу P , Ні її N P -Повнота.


7. Пов'язані визначення

Ізоморфізм алгебри на себе називається автоморфізмом.

8. Історія

Поняття ізоморфізму виникло в математиці стосовно групам і було природним чином поширено на більш широкий клас математичних структур.

9. Варіації і узагальнення

  • Деяка загальна теорія, уточнююча поняття ізоморфізму (і інших близьких понять) була запропонована групою Бурбаки в їх книзі "Теорія множин" (Глава 4. Структури).

Примітки

  1. Л.С. Понтрягин Безперервні групи стор 392

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ізоморфізм графів
Ізоморфізм (хімія)
Ізоморфізм (значення)
© Усі права захищені
написати до нас