Інваріантна похідна за часом

Інваріантна похідна за часом - це похідна по часу інерціальної системи. У самій інерціальній системі інваріантна похідна по часу є просто звичайна похідна за часом: \ Frac {\ partial} {\ partial t} . В неінерційній системі інваріантна похідна за часом складається з суми звичайної похідної за часом \ Frac {\ partial} {\ partial t} і додаткових доданків, пов'язаних зі швидкістю V ^ i руху неінерційній системи щодо інерціальній. Поле швидкостей може бути неоднорідним V ^ i (x) і, в загальному випадку, залежати від часу V ^ i (x, t) . Так, наприклад, в неінерційній системі пов'язаної з нерівномірно обертовим колесом, поле швидкостей неоднорідне в просторі і в часі. Оскільки поле швидкостей V ^ i (x, t) є відносна швидкість руху координатних систем, які не є матеріальними об'єктами, то ця швидкість за величиною може перевищувати швидкість світла і навіть бути нескінченною. Ніякого протиріччя зі спеціальною теорією відносності (СТО) при цьому, звичайно ж, не виникає. Наприклад, поле швидкостей неінерційній системи, пов'язаної з обертовим колесом, на досить великій відстані від центру обертання за величиною перевищує швидкість світла і прямує до нескінченності при подальшому віддаленні від центру.

Позначимо через \ Bar {x} - Координати в інерціальній системі, і x (\ bar {x}, t) - Координати в неінерційній. Тоді швидкість руху неінерційній системи щодо інерціальній є:

V ^ i (x, t) = \ frac {\ partial x ^ i (\ bar {x}, t)} {\ partial t}

Інваріантна похідна за часом від скаляра F (x, t) в неінерційній системі є:

D_t F (x, t) = \ frac {\ partial F} {\ partial t} + \ frac {\ partial F} {\ partial x ^ i} \ frac {\ partial x ^ i} {\ partial t} = \ frac {\ partial F} {\ partial t} + V ^ i (x, t) \ frac {\ partial F} {\ partial x ^ i} .

Інваріантна похідна за часом від тензорів має додаткові доданки, пов'язані з перетворенням їх компонент при переході з однієї системи координат в іншу \ Bar {x} \ to x (\ bar {x}, t) . Так, наприклад, для векторів і ковекторов маємо:

A ^ i = \ frac {\ partial x ^ i} {\ partial \ bar {x} ^ j} \ bar {A} ^ j ;

A_i = \ frac {\ partial \ bar {x} ^ j} {\ partial x ^ i} \ bar {A} _j .

Отже,

D_t A ^ i = \ frac {\ partial A ^ i} {\ partial t} + V ^ j \ frac {\ partial A ^ i} {\ partial x ^ j} - A ^ j \ frac {\ partial V ^ i} {\ partial x ^ j} ;

D_t A_i = \ frac {\ partial A_i} {\ partial t} + V ^ j \ frac {\ partial A_i} {\ partial x ^ j} + A_j \ frac {\ partial V ^ j} {\ partial x ^ i } .

Аналогічно обчислюються інваріантні похідні за часом від тензорів вищих рангів.

Важливою властивістю інваріантної похідної за часом є те, що всі похідні по просторовим координатам \ Frac {\ partial} {\ partial x ^ i} в правих частинах наведених вище виразів можна замінити на коваріантного похідні, узгоджені з метрикою простору dl ^ 2 = \ gamma_ {ij} dx ^ i dx ^ j . Тобто,

D_t A ^ i = \ partial_t A ^ i + V ^ j A ^ i_ {; j} - A ^ j V ^ i_ {; j} ,

D_t A_i = \ partial_t A_i + V ^ j A_ {i; j} + A_j V ^ j_ {; i} ,

при цьому доданки зі зв'язності Крістоффеля взаємно скорочуються.

Розглянуті вище "добавки" до звичайних похідним за часом є Лі - варіаціями (або, інакше, похідними Лі) тензорних полів вздовж векторного поля V ^ i , Які були вивчені видатним норвезьким математиком Софус Лі (1842-1899).

Всім відомі відцентрове і кориолисово прискорення, що з'являються в обертовій неінерційній системі, - суть додаткові доданки в інваріантної похідної за часом від вектора швидкості рухомої матеріальної точки.


Література