Інтеграл

План:

Введення

1 Типи інтегралів
- 1.1 По області інтегрування
2 Інтеграли, що залежать від параметрів
- 2.1 Інтеграл з невизначеною верхньою межею
- 2.2 Диференціювання по параметру
3 Історія
- 3.1 Інтеграл в давнину
- 3.2 Позначення

Примітки

Література

Введення

Визначений інтеграл як площа фігури

Інтеграл функції - аналог суми послідовності. Неформально кажучи, (певний) інтеграл є площею частини графіка функції (в межах інтегрування), тобто площею криволінійної трапеції.

Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Згідно основний теоремі аналізу, інтегрування є операцією, зворотною диференціюванню, ніж допомагає вирішувати диференціальні рівняння.

Існує кілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються в технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до даної функції, дадуть один і той же результат. Найбільш простим є інтеграл Рімана.

1. Типи інтегралів

1.1. По області інтегрування

2. Інтеграли, що залежать від параметрів

2.1. Інтеграл з невизначеною верхньою межею

2.2. Диференціювання по параметру

Нехай заданий інтеграл виду

$I (t) = \ int \ limits_ {x_1 (t)} ^ {x_2 (t)} f (x, t) \ mathrm dx.$

У такому випадку, похідна за параметром t дорівнюватиме ^[1]

$\ Frac {\ mathrm dI} {\ mathrm dt} = f (x_2, t) \ frac {\ mathrm dx_2} {\ mathrm dt} - f (x_1, t) \ frac {\ mathrm dx_1} {\ mathrm dt} + \ int \ limits_ {x_1 (t)} ^ {x_2 (t)} \ frac {\ partial f} {\ partial t} \ mathrm dx.$

3. Історія

3.1. Інтеграл в давнину

Інтегрування простежується ще в стародавньому Єгипті, приблизно в 1800 р. до н. е.., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму усіченої піраміди. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. е..), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомі. Цей метод був підхоплений і розвинутий Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н. е.. Лю Хуей, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Дзю Чонгші для знаходження об'єму кулі.

Наступний великий крок у підрахунок інтегралів був зроблений в Іраку, в XI столітті, математиком Ібн ал-Хайсамом (відомим як Alhazen в Європі), у своїй роботі "Про вимірювання параболічного тіла" він приходить до рівняння четвертого ступеня. Вирішуючи цю проблему, він проводить обчислення, рівносильні обчисленню певного інтеграла, щоб знайти об'єм параболоїда. Використовуючи математичну індукцію він зміг узагальнити свої результати для інтегралів від многочленів до четвертого ступеня. Таким чином, він був близький до пошуку загальної формули для інтегралів від поліномів, але він не стосується будь-яких многочленів вище четвертого ступеня.

Наступний значний прогрес в обчисленні інтегралів з'явиться лише в XVI столітті. У роботах Кавальєрі з його методом неподільних, а також у роботах Ферма, були закладені основи сучасного інтегрального числення. Подальші кроки були зроблені на початку XVII століття Барроу і Торрічеллі, які представили перші натяки на зв'язок між інтегруванням і диференціюванням.

3.2. Позначення

Ньютон використовував (не скрізь) як символу інтегрування значок квадрата (перед позначенням функцій або навколо нього), але ці позначення не отримали широкого розповсюдження. Сучасне позначення невизначеного інтеграла було введено Лейбніцем в 1675 році. Він утворив інтегральний символ $\ Int$ з букви s ( "Довга s") - скорочення слова лат. summa (Тоді summa, сума). ^[2] Сучасне позначення певного інтеграла, із зазначенням меж інтегрування, були вперше запропоновані Жаном Батистом Жозефом Фур'є в 1819-20 роках.

Примітки

Будилін А. М. Варіаційне числення - lib.mexmat.ru/books/121. Електронна бібліотека Опікунської ради механіко-математичного факультету Московського державного університету. - Цифрове видання. Частина 3.3.1. Диференціювання інтеграла по параметру ..
Florian Cajori A history of mathematical notations - Courier Dover Publications, 1993. - P. 203. - 818 p. - (Dover books on mathematics). - ISBN 9780486677668.

Література

Нікольський С. М. Глава 9. Визначений інтеграл Рімана / / Курс математичного аналізу - 1990 Т. 1.
Ільїн В. А., Позняк, Е. Г. Глава 6. Невизначений інтеграл / / Основи математичного аналізу - 1998 Т. 1. - (Курс вищої математики і математичної фізики).
Ільїн В. А., Позняк, Е. Г. Глава 10. Визначений інтеграл / / Основи математичного аналізу - 1998 Т. 1. - (Курс вищої математики і математичної фізики).
Демидович Б. П. Відділ 3. Невизначений інтеграл / / Збірник завдань і вправ з математичного аналізу - 1990. - (Курс вищої математики і математичної фізики).
Демидович Б. П. Відділ 4. Визначений інтеграл / / Збірник завдань і вправ з математичного аналізу - 1990. - (Курс вищої математики і математичної фізики).