Алгебраїчна незалежність

Алгебраїчна незалежність - поняття теорії розширень полів.

Нехай L деяке розширення поля K . Елементи $(\ Alpha_1, \ ldots, \ alpha_n)$ називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не рівного тотожно нулю многочлена $P (x_1, \ ldots, x_n)$ коефіцієнти в K

$P (\ alpha_1, \ dots, \ alpha_n) \ ne 0$ .

В іншому випадку елементи $(\ Alpha_1, \ ldots, \ alpha_n)$ називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна безліч елементів називається алгебраїчно незалежним, якщо незалежним є кожна її кінцеве підмножина, і називається залежним в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можна поширити на випадок, коли L - кільце і K - Його подкольцо.

Приклад

Підмножина $\ {\ Sqrt {\ pi}; 2 \ pi +1 \}$ поля дійсних чисел $\ R$ не є алгебраїчно незалежним над полем $\ Q$ , Оскільки многочлен P (x_1, x_2) = 2x ^ 2_1-x_2 +1 є нетривіальним з раціональними коефіцієнтами і $P (\ sqrt {\ pi}, 2 \ pi +1) = 0$ .