Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Базис



План:


Введення

Базис ( др.-греч. βασις , Основа) - безліч таких векторів в векторному просторі, що будь-який вектор цього простору може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї множини - базисних векторів.

У випадку, коли базис нескінченний, поняття "лінійна комбінація" вимагає уточнення. Це веде до двох основних різновидів визначення:

  • Базис Гамель, у визначенні якого розглядаються тільки кінцеві лінійні комбінації. Базис Гамель застосовується в основному в абстрактній алгебрі (зокрема в лінійній алгебрі).
  • Базис Шаудер, у визначенні якого розглядаються і нескінченні лінійні комбінації, а саме - розкладання в ряди. Це визначення застосовується в основному у функціональному аналізі, зокрема для гильбертова простору,

У скінченновимірних просторах обидва різновиди базису збігаються.


1. Походження терміну

У Евкліда та інших давньогрецьких математиків слово "базис" (βασιζ, у значенні підстава) позначало горизонтальне підставу плоскої або просторової фігури. Сучасний математичний сенс цього терміну надав Дедекинда у статті 1885

2. Елементарне введення: базис в евклідової площини і просторі

Базис в двовимірному просторі (тобто на площині). На діаграмі, блакитний і помаранчевий вектори - елементи базису (або базисні вектори); зелений вектор може бути представлений у вигляді суми базисних векторів, помножених на деякі коефіцієнти (зелений = -2 блакитний + 1 помаранчевий), званої лінійної комбінацією і, таким чином, лінійно залежний від них, як і будь-який інший вектор цього простору (площини), кожен з яких теж може бути представлений на увазі лінійної комбінації блакитного і помаранчевого з якимись коефіцієнтами.

Будь декартовій системі координат на площині або в тривимірному просторі (також і в просторі іншої розмірності) може бути зіставлений базис, що складається з векторів, кожний з яких спрямований уздовж своєї координатної осі. Це відноситься і до прямокутних декартовим координатами (тоді відповідний базис називається ортогональним), так і до косокутних декартовим координатами (яким буде відповідати неортогональних базис).

Часто зручно вибрати довжину ( норму) кожного з базисних векторів одиничної, такий базис називається нормованим.

Найбільш часто базис вибирають ортогональним і нормованим одночасно, тоді він називається ортонормированном.

У будь-якому векторному просторі базис можна вибрати різним чином (помінявши напрями його векторів або їх довжини, наприклад).

Декартові координати в тривимірному просторі (ліва (на малюнку зліва) і права (праворуч) декартові системи координат (лівий і правий базиси). Прийнято за замовчуванням використовувати праві базиси (це загальноприйняте угоду, якщо тільки якісь особливі причини не змушують від нього відійти - і тоді це обумовлюється явно). Базисом, відповідним такій системі координат є трійка векторів, кожний з яких спрямований уздовж якийсь із осей (зображуються три базисних вектора як правило виходять із загального початку).

2.1. Позначення

Позначення векторів базису може бути в принципі довільним. Часто використовують яку-небудь букву з індексом (числовим або збігається з назвою координатної осі), наприклад:

\ Vec e_1, \ vec e_2

або

\ Vec e_x, \ vec e_y

- Типові позначення базису двовимірного простору (площини).

\ Vec e_1, \ vec e_2, \ vec e_3

або

\ Vec e_x, \ vec e_y, \ vec e_z

- Тривимірного простору. Для тривимірного простору часто за традицією використовується і позначення

\ Vec i, \ vec j, \ vec k.

Подання якогось конкретного (кожного) вектора \ Vec a простору у вигляді лінійної комбінації векторів базису (суми базисних векторів числовими коефіцієнтами), наприклад

\ Vec a = a_x \ vec e_x + a_y \ vec e_y + a_z \ vec e_z

або

\ Vec a = a_1 \ vec e_1 + a_2 \ vec e_2 + a_3 \ vec e_3

або, вживаючи знак суми Σ :

\ Vec a = \ sum_ {i = 1} ^ 3 a_i \ vec e_i

називається розкладанням цього вектора з цього базису.

Числові коефіцієнти (A x, a y, a z) називаються коефіцієнтами розкладання, а їх набір в цілому - уявленням (або представником) вектора \ Vec a в базисі \ Vec e_x, \ vec e_y, \ vec e_z. (Розкладання вектора по конкретному базису єдино; розкладання одного і того ж вектора за різними базисам - різне, тобто виходить різний набір конкретних чисел, проте в результаті при підсумовуванні - як показано вище - дають один і той же вектор).


3. Базис Гамель

Базис Гамель ( англ. Hamel basis ) - Безліч векторів в лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору може бути представлений у вигляді деякої їх кінцевої лінійної комбінації (повнота базису), і таке подання для будь-якого вектора єдино.

Критерієм єдиності рішення задачі розкладання вектора по повній системі векторів є лінійна незалежність векторів, що входять в повну систему. Лінійна незалежність означає, що всяка лінійна комбінація векторів системи, в якій хоча б один коефіцієнт ненульовий, має ненульову суму. Тобто це еквівалентно єдиності розкладання нульового вектора.

У разі лінійних просторів, коли всякий ненульовий коефіцієнт звернемо, лінійна незалежність еквівалентна неможливості висловити будь-якої вектор повної системи лінійної комбінацією інших векторів. (У більш загальної ситуації - модулів над кільцями - ці дві властивості нееквівалентний). Неможливість висловити ніякої вектор базису через інші означає мінімальність базису як повної системи векторів - при видаленні будь-якого з них втрачається повнота.

У питанні про існування базисів основною є наступна лема (доказ цієї леми в загальному випадку неконструктивно і використовує аксіому вибору):

Лема. Нехай S 1 - Повна, а S 2 - Лінійно незалежна система векторів. Тоді система S 1 містить набір векторів, що доповнює S 2 до базису простору V .

Наслідком цієї леми є твердження:

  1. Кожне лінійне простір володіє базисом.
  2. Базис простору можна виділити з будь повної системи векторів.
  3. Всяку лінійно незалежну систему можна доповнити до базису простору V.

Будь-які два базису в лінійному просторі рівнопотужних, так що потужність базису - величина, незалежна від вибору базисних векторів. Вона називається розмірністю простору (позначається dim V ). Якщо лінійний простір має кінцевий базис, його розмірність конечна і воно називається скінченновимірних, в іншому випадку його розмірність нескінченна, і простір називається нескінченновимірним.

Обраний базис лінійного простору дозволяє ввести координатне представлення векторів, ніж готується використання аналітичних методів.

Лінійне відображення з одного лінійного простору в інший однозначно визначено, якщо задано на векторах якогось базису. Комбінація цього факту з можливістю координатного представлення векторів зумовлює застосування матриць для вивчення лінійних відображень векторних просторів (в першу чергу - скінченновимірних). При цьому багато фактів з теорії матриць отримують наочне уявлення і набувають дуже змістовний сенс, коли вони виражені на мові лінійних просторів. І вибір базису при цьому служить хоч і допоміжним, але в той же час ключовим засобом.


3.1. Приклади

  • Вектори e_1, e_2, \ dots, e_n простору \ R ^ n утворюють базис тоді і тільки тоді, коли визначник матриці, складеної з координатних стовпчиків цих векторів, не дорівнює 0: \ Det \ {e_1, e_2, \ dots, e_n \} \ neq 0 .
  • У просторі всіх многочленів над полем один з базисів становлять статечні функції: 1, x, x ^ 2, \ dots, x ^ n, \ dots .
  • Поняття базису використовується в безконечномірному випадку, наприклад речові числа утворюють лінійний простір над раціональними числами і воно має континуальний базис Гамель і, відповідно, континуальної розмірність.

3.2. Базис Гамель і розривна лінійна функція

Базис Гамель може бути використаний для побудови розривної речової функції, що задовольняє умові f (x + y) = f (x) + f (y) . Нехай {R α} --- Базис Гамель безлічі дійсних чисел \ Mathbb {R} над полем раціональних чисел \ Mathbb {Q} . Тоді для кожного x = k_ {\ alpha_1} r_ {\ alpha_1} + \ cdots + k_ {\ alpha_n} r_ {\ alpha_n} ( k_i \ in \ mathbb {Q} ) Покладемо f (x) = k_ {\ alpha_1} + \ cdots + k_ {\ alpha_n} . Функція f (x) лінійна з побудови, проте не може бути безперервною, тому що приймає тільки раціональні значення.


4. Базис Шаудер

Система векторів {E n} топологічного векторного простору L називається базисом Шаудер (на честь Шаудер (англ.)), якщо кожен елемент f \ in L розкладається в єдиний, що сходиться до f ряд по {E n} :

f = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} f_i e_i,

де f i - Числа, що називаються коефіцієнтами розкладання вектора f по базису {E n} .

Щоб підкреслити відмінність визначення базису Гамель для загальних лінійних просторів (допускаються тільки кінцеві суми) від базису Шаудер для топологічних векторних просторів (допускається розкладання в сходиться ряд), для першого часто використовують термін лінійний базис, залишаючи термін базис для розкладань у ряди. Потужність лінійного базису називають також лінійної розмірністю. У скінченновимірних просторах ці визначення співпадають з-за кінцівки базису. У нескінченновимірних просторах ці визначення істотно розрізняються і лінійна розмірність може бути строго більше потужності базису Шаудер.

Наприклад, ніяке безконечномірні Гільбертів простір не має рахункового лінійного базису, хоча може мати рахункові базиси Шаудер з розкладанням в ряд, в тому числі, ортонормированном базиси. Всі ортонормированном базиси Гільбертові просторів є базисами Шаудер, наприклад, безліч функцій \ {1, \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ sin (2 \ pi nx), \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ cos (2 \ pi nx) \ mid n = 1 , 2, \ dots \} є базисом Шаудер в просторі L 2 [0,1] . У більш загальних банахових просторах поняття ортонормированного базису застосовується, але часто вдається побудувати базиси Шаудер, які не використовують ортогональності.


4.1. Приклад: базис Шаудер для простору безперервних функцій C [a, b]

C [a, b] - банаховому просторі з нормою \ | F \ | = \ max_ {x \ in [a, b]} | f (x) | . Для розкладань в ряди Фур'є та узагальнені ряди Фур'є по ортонормованій системі функцій легко доводиться збіжність в гільбертовому просторі L 2 [a, b] , Але не в C [a, b] . Шаудер сконструював базис Шаудер {E n} для C [a, b] . Нехай \ {X_0, x_1, \ dots, x_n, \ dots \} - Щільне рахункове безліч точок на [A, b] , x 0 = a , x 1 = b , Інші точки можуть бути, наприклад, всіма раціональними точками відрізка [A, b] , Впорядкованими довільним чином. Покладемо: e 0 = 1 , e 1 = (x - a) / (b - a) - Лінійна функція. Визначимо кусочно-лінійну функцію e n (x) так, щоб e n (x i) = 0 при i = 0,1, \ dots, n-1 і e n (x n) = 1 . Точки x_0, x_1, x_2, \ dots, x_ {n-1} розбивають [A, b] на n - 1 відрізок. Точка x n лежить строго всередині одного з них. Нехай це I n = [x j, x k] для якихось j, k \ in \ {0, \ dots, n-1 \} (Порядок нумерації чисел x_0, x_1, x_2, \ dots не відповідає їх величині).

Розкладання безперервної функції по базису Шаудер. Показано побудова L 5 (x) . Червоним кольором на графіку виділена ділянка, на якому L 5 відрізняється від L 4 (Синя ламана).

Покладемо:

e n (x) = 0 поза відрізка I n = [x j, x k],
e_n (x) = \ frac {x-x_j} {x_n-x_j} при x \ in [x_j, x_n],
e_n (x) = \ frac {x_k-x} {x_k-x_n} при x \ in [x_n, x_k].

Отримана система кусочно-лінійних "шапочок" і є шуканий базис Шаудер. Коефіцієнти розкладання довільної функції f (x) \ in C [a, b] по цьому базису виражаються по явним реккурентним формулам через послідовність значень f (x i) . Часткова сума перших n + 1 членів ряду

L_n (x) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} f_i e_i (x),

є в даному випадку кусочно-лінійною апроксимацією f (x) з вузлами в точках x_0, x_1, x_2, \ dots, x_ {n} ; Формула для коефіцієнтів f_n = f (x_n)-L_ {n-1} (x_n); \; \; f_0 = f (a) (Див. Рис.)


4.2. Проблема базису

Базиси Шаудер побудовані для більшості відомих прикладів банахових просторів, однак проблема Банаха - Шаудер про існування базису Шаудер в кожному сепарабельном банаховому просторі не піддавалася вирішенню більш 50 років і лише в 1972 році була вирішена негативно: існують сепарабельние банахових просторах без базису Шаудер (контрприклади Енфло, Шанковського, Деві і Фігеля).

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Базис ерозії
Ортогональний базис
Базис Рісса
Теорема Гільберта про базис
© Усі права захищені
написати до нас