Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Банаховому просторі



Банаховому просторі - нормоване векторний простір, повне по метриці, породженої нормою. Основний об'єкт вивчення функціонального аналізу. Названо по імені польського математика Стефана Банаха.


Приклади

Далі через K позначено одне з полів \ R або \ C .

  • Евклідові простору K n з евклідової нормою, яка визначається для x = (x_1, \; \ ldots, \; x_n) як \ | X \ | = \ sqrt {\ sum | x_i | ^ 2} , Є банахових просторах.
  • Простір усіх безперервних функцій f \ colon [a, \; b] \ to K , Визначених на закритому інтервалі [A, \; b] буде банаховому просторі, якщо ми визначимо його норму як \ | F \ | = \ sup \ {| f (x) | \ colon x \ in [a, \; b] \} . Така функція буде нормою, оскільки безперервні функції на закритому інтервалі є обмеженими. Простір з такою нормою є повним, а отримане банаховому просторі позначається як C [a, b] . Цей приклад можна узагальнити до простору C (X) всіх безперервних функцій X \ to K , Де X - компактний простір, або до простору всіх обмежених безперервних функцій X \ to K , Де X - Будь- топологічний простір, або навіть до простору B (X) всіх обмежених функцій X \ to K , Де X - Будь- безліч. У всіх цих прикладах ми можемо перемножувати функції, залишаючись у тому ж самому просторі: всі ці приклади є по суті банахових алгебра.
  • Якщо p \ geqslant 1 - Дійсне число, то простір всіх нескінченних послідовностей (X_1, \; x_2, \; x_3, \; \ ldots) елементів з K , Таких що ряд \ Sum | x_i | ^ p сходиться, є банахових щодо норми, рівної кореня ступеня p із суми цього ряду, і позначається l p .
  • Банаховому просторі l ^ \ infty складається з усіх обмежених послідовностей елементів з K ; Норма такій послідовності визначається як точна верхня грань абсолютних величин (модулів) елементів послідовності.
  • Знову, якщо p \ geqslant 1 - Дійсне число, можна розглядати всі функції інтегрована по Лебегу. Корінь ступеня p цього інтеграла визначимо як норму f . Само собою, це простір не буде банахових, оскільки є ненульові функції, чия норма дорівнюватиме нулю. Визначимо відношення еквівалентності наступним чином: f і g еквівалентні тоді і тільки тоді, коли норма f - g дорівнює нулю. Безліч класів еквівалентності тоді є банаховому просторі; воно позначається як L ^ p [a, \; b] . Важливо використовувати саме інтеграл Лебега, а не інтеграл Рімана, оскільки інтеграл Рімана не породжує повний простір. Ці приклади можна узагальнити. Див, наприклад, L p -Простору.
  • Якщо X і Y - Банахових просторах, то можна скласти їх пряму суму X \ oplus Y , Яке знову-таки буде банаховому просторі. Можна і узагальнити цей приклад до прямої сумі довільно великого числа банахових просторів.
  • Якщо M - Замкнутий підпростір банаховому просторі X , То факторпространство X / M знову є банахових.
  • Будь-яке Гільбертів простір теж є банахових. Зворотне невірно.
  • Якщо V і W - Банахових простору над одним полем K , Тоді безліч безперервних K -Лінійних відображень A \ colon V \ to W позначається L (V, \; W) . Зауважимо, що в нескінченновимірних просторах не всі лінійні відображення автоматично є безперервними. L (V, \; W) - Векторний простір, і, якщо норма задана як \ | A \ | = \ sup \ {\ | Ax \ | \ colon x \ in V, \; \ | x \ | \ leqslant 1 \} , Є також і банахових.

Типи банахових просторів


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Дискримінація росіян на пострадянському просторі
Гарячі точки на пострадянському просторі
Векторне твір в семімерном просторі
Загальна теорія відносності в багатовимірному просторі
Договір про заборону випробувань ядерної зброї в атмосфері, космічному просторі й під водою
© Усі права захищені
написати до нас