Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Безперервність безлічі дійсних чисел



План:


Введення

Безперервність дійсних чисел - властивість системи дійсних чисел \ Mathbb {R} , Яким не володіє безліч раціональних чисел \ Mathbb {Q} . Іноді замість безперервності говорять про повноту системи дійсних чисел [1]. Існує кілька різних формулювань властивості безперервності, найбільш відомі з яких: принцип безперервності дійсних чисел по Дедекинда, принцип вкладених відрізків Коші - Кантора, теорема про точної верхньої межі. Залежно від прийнятого визначення дійсного числа, властивість безперервності може або постулювати як аксіома - в тій чи іншій формулюванні, або доводитися в якості теореми [2].


1. Аксіома безперервності

Наступна пропозиція є, мабуть, найбільш просту і зручну для додатків формулювання властивості безперервності дійсних чисел. При аксіоматичному побудові теорії дійсного числа дане твердження, або еквівалентним йому, неодмінно входить до числа аксіом дійсного числа [3].

Геометрична ілюстрація аксіоми безперервності

Аксіома безперервності (повноти). Які б не були непорожні множини A \ subset \ mathbb {R} і B \ subset \ mathbb {R} , Такі що для будь-яких двох елементів a \ in A і b \ in B виконується нерівність a \ leqslant b , Існує таке число ξ , Що для всіх a \ in A і b \ in B має місце співвідношення

a \ leqslant \ xi \ leqslant b

Геометрично, якщо трактувати дійсні числа як точки на прямій, дане твердження видається очевидним. Якщо дві множини A і B такі, що на числовій прямій всі елементи одного з них лежать лівіше всіх елементів другого, то знайдеться число ξ , Що розділяє ці дві множини, тобто лежить правіше всіх елементів A (Окрім, можливо, самого ξ ) І лівіше всіх елементів B (Та ж застереження).

Тут слід зазначити, що незважаючи на "очевидність" даної властивості, для раціональних чисел воно не завжди виконується. Для прикладу, розглянемо два безлічі:

A = \ {x \ in \ mathbb {Q}: x> 0, \; x ^ 2 <2 \}, \ quad B = \ {x \ in \ mathbb {Q}: x> 0, \; x ^ 2> 2 \}

Легко бачити, що для будь-яких елементів a \ in A і b \ in B виконується нерівність a . Однак раціонального числа ξ , Що розділяє ці дві множини, не існує. Справді, цим числом може бути тільки \ Sqrt {2} , Але воно не є раціональним.


2. Роль аксіоми безперервності в побудові математичного аналізу

Значення аксіоми безперервності таке, що без неї неможливо суворе побудова математичного аналізу. [ ] Для ілюстрації наведемо кілька фундаментальних тверджень аналізу, доведення яких спирається на безперервність дійсних чисел:

  • ( Теорема Вейєрштрасса). Усяка обмежена монотонно зростаюча послідовність сходиться
  • ( Теорема Больцано - Коші). Безперервна на відрізку функція, що приймає на його кінцях значення різного знака, звертається в нуль в деякій внутрішній точці відрізка
  • (Існування статечної, показовою, логарифмічною і всіх тригонометричних функцій на всій "природною" області визначення). Наприклад, доводиться, що для всякого a> 0 і цілого n \ geqslant 1 існує \ Sqrt [n] {a} , Тобто рішення рівняння x n = a, x> 0 . Це дозволяє визначити значення виразу a x для всіх раціональних x :

a ^ {m / n} = \ left (\ sqrt [n] {a} \ right) ^ m

Нарешті, знову завдяки безперервності числової прямої можна визначити значення виразу a x вже для довільного x \ in \ R . Аналогічно, використовуючи властивість безперервності, доводиться існування числа log a b для будь-яких a, b> 0, a \ neq 1 .

Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, в "тонких місцях посилаючись на геометричне обгрунтування, а частіше - і зовсім їх пропускаючи оскільки це було очевидно. Найважливіше поняття безперервності використовувалося без будь-якого чіткого визначення. Лише в останній третині XIX століття німецький математик Карл Вейерштрасс справив арифметизации аналізу, збудувавши першу строгу теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення межі мовою ε - δ , Довів ряд тверджень, які до нього вважалися "очевидними", і тим самим завершив побудова фундаменту математичного аналізу.

Пізніше були запропоновані інші підходи до визначення дійсного числа. В аксіоматичному підході безперервність дійсних чисел виділена явно в окрему аксіому. У конструктивних підходах до теорії дійсного числа, наприклад при побудові дійсних чисел за допомогою дедекіндових перерізів, властивість безперервності (в тій чи іншій формулюванні) доводиться як теореми.


3. Інші формулювання властивості безперервності та еквівалентні пропозиції

Існує кілька різних тверджень, що виражають властивість безперервності дійсних чисел. Кожен з цих принципів можна покласти в основу побудови теорії дійсного числа в якості аксіоми безперервності, і з нього вивести всі інші [4] [5]. Детальніше це питання обговорюється в наступному розділі.

3.1. Безперервність по Дедекинда

Питання про безперервність дійсних чисел Дедекинда розглядає у своїй роботі "Безперервність і ірраціональні числа " [6]. У ній він порівнює раціональні числа з точками прямої лінії. Як відомо, між раціональними числами і точками прямий можна встановити відповідність, коли на прямий вибирають початкову точку і одиницю виміру відрізків. За допомогою останньої можна по кожному раціональному числу a побудувати відповідний відрізок, і відклавши його вправо або вліво, залежно від того, чи є a позитивне або негативне число, отримати точку p , Що відповідає числу a . Таким чином, кожному раціональному числу a відповідає одна й тільки одна точка p на прямій.

При цьому виявляється, що на прямій є нескінченно багато точок, які не відповідають ніякому раціональному числу. Наприклад, точка, отримана шляхом відкладення довжини діагоналі квадрата побудованого на одиничному відрізку. Таким чином, район раціональних чисел не має тієї повнотою, або ж безперервністю, яка властива прямій лінії.

Попереднє порівняння області раціональних чисел з прямою привело до відкриття в першій вад (Lckenhaftigkeit), неповноти, або розривним, тим часом як прямий ми приписуємо повноту, відсутність пробілів, безперервність.
Р. Дедекинда, "Безперервність і ірраціональні числа"

Щоб з'ясувати в чому ж полягає ця безперервність, Дедекинда робить наступне зауваження. Якщо p є певна точка прямої, то всі крапки прямий розпадаються на два класу : точки розташовані лівіше p , І точки розташовані правіше p . Сама ж точка p може бути безпідставно віднесена або до нижнього, або до верхнього класу. Дедекинда вбачає сутність безперервності в зворотному принципі:

Якщо точки прямий розпадаються на два класи такого роду, що кожна точка першого класу лежить ліворуч від кожної точки другого класу, то існує одна і тільки одна точка, яка виробляє цей поділ прямій на два класи, це розсічення прямій на два шматки.
Р. Дедекинда, "Безперервність і ірраціональні числа"

Геометрично цей принцип представляється очевидним, проте довести його ми не в змозі. Дедекинда підкреслює, що, по суті, цей принцип є постулатом, в якому виражена сутність того приписуваного прямий властивості, яке ми називаємо безперервністю.

Прийняття цієї властивості прямої лінії є ні що інше, як аксіома, за допомогою якої ми тільки й визнаємо за пряму її безперервність, подумки вкладаємо безперервність у пряму.
Р. Дедекинда, "Безперервність і ірраціональні числа"
Стрибок
Пробіл

Щоб глибше зрозуміти сутність безперервності числової прямої в сенсі Дедекинда, розглянемо довільне перетин множини дійсних чисел, тобто поділ всіх дійсних чисел на два непустих класу, так що всі числа одного класу лежать на числовій прямій лівіше всіх чисел другого. Ці класи називаються відповідно нижнім і верхнім класами перетину. Теоретично є 4 можливості:

  1. У нижньому класі є максимальний елемент, у верхньому класі немає мінімального
  2. У нижньому класі немає максимального елемента, а у верхньому класі є мінімальний
  3. У нижньому класі є максимальний, а у верхньому - мінімальний елементи
  4. У нижньому класі немає максимального, а у верхньому - мінімального елементів

У першому і другому випадках максимальний елемент нижнього або мінімальний елемент верхнього відповідно і проводить дане розтин. У третьому випадку ми маємо стрибок, а в четвертому - пробіл. Таким чином, безперервність числової прямої означає, що в множині дійсних чисел немає ні стрибків, ні пробілів, тобто, образно кажучи, немає пустот.

Якщо ввести поняття перетину безлічі дійсних чисел, то принцип безперервності Дедекинда можна сформулювати так.

Принцип безперервності Дедекинда (повноти). Для кожного перетину безлічі дійсних чисел існує число, яке виробляє це розтин.

Зауваження. Формулювання Аксіоми безперервності про існування точки, що розділяє дві множини, дуже нагадує формулювання принципу безперервності Дедекинда. Насправді, ці твердження еквівалентні, і, по суті, є різними формулюваннями одного і того ж. Тому обидва ці твердження називають принципом безперервності дійсних чисел по Дедекинда.


3.2. Лемма про вкладені відрізках (принцип Коші - Кантора)

Лемма про вкладені відрізках ( Коші - Кантор). Усяка система вкладених відрізків

[A_1, b_1] \ supset [a_2, b_2] \ supset \ ldots \ supset [a_n, b_n] \ supset \ ldots

має непорожнє перехід, тобто існує принаймні одне число, яке належить всім відрізкам даної системи.

Якщо, крім того, довжина відрізків даної системи прагне до нуля, тобто

\ Forall \ varepsilon> 0 \; \ exists n_ {\ varepsilon} \; \ forall n \ bigl (n> n_ {\ varepsilon} \ Rightarrow b_n-a_n <\ varepsilon \ bigr)

то перетин відрізків даної системи складається з однієї точки.

Це властивість називають безперервністю безлічі дійсних чисел в сенсі Кантора. Нижче буде показано, що для архімедовим упорядкованих полів безперервність по Кантору еквівалентна безперервності по Дедекинда.


3.3. Принцип Супремум

Принцип Супремум. Будь-яке непорожнє обмежене зверху безліч дійсних чисел має Супремум.

У курсах математичного аналізу цю пропозицію зазвичай є теоремою і його доказ істотно використовує безперервність безлічі дійсних чисел в тій чи іншій формі. Разом з тим можна навпаки, постулювати існування Супремум у всякого непорожнього обмеженого зверху множини, і спираючись на це довести, наприклад, принцип безперервності по Дедекинда. Таким чином, теорема про Супремум є однією з еквівалентних формулювань властивості безперервності дійсних чисел.

Зауваження. Замість Супремум можна використовувати подвійне поняття інфімум.

Принцип інфімум. Будь-яке непорожнє обмежене знизу безліч дійсних чисел має інфімум.

Ця пропозиція також еквівалентно принципом безперервності Дедекинда. Більш того можна показати, що з твердження теореми про Супремум безпосередньо випливає твердження теореми про інфімум, і навпаки (див. нижче).


3.4. Лемма про кінцевий покритті (принцип Гейне - Бореля)

Лемма про кінцевий покритті ( Гейне - Борель). У будь-якій системі інтервалів, що покриває відрізок, існує кінцева підсистема, що покриває цей відрізок.

3.5. Лемма про граничну точці (принцип Больцано - Вейєрштрасса)

Лемма про граничну точці ( Больцано - Вейерштрасс). Усяке нескінченне обмежене числове безліч має принаймні одну граничну точку.

4. Еквівалентність пропозицій, що виражають безперервність безлічі дійсних чисел

Зробимо деякі попередні зауваження. Відповідно до аксіоматичним визначенням дійсного числа, сукупність дійсних чисел задовольняє трьом групам аксіом. Перша група - аксіоми поля. Друга група висловлює той факт, що сукупність дійсних чисел є лінійно упорядкований безліч, причому відношення порядку узгоджено з основними операціями поля. Таким чином, перша і друга групи аксіом означають, що сукупність дійсних чисел являє собою упорядковане поле. Третя група аксіом складається з однієї аксіоми - аксіоми безперервності (або, повноти).

Щоб показати еквівалентність різних формулювань безперервності дійсних чисел, слід довести, що якщо для впорядкованого поля виконано одну з цих пропозицій, то з цього випливає справедливість всіх інших.

Теорема. Нехай \ Mathsf {R} - Довільне лінійно упорядкований безліч. Наступні твердження еквівалентні:

  1. Які б не були непорожні множини A \ subset \ mathsf {R} і B \ subset \ mathsf {R} , Такі що для будь-яких двох елементів a \ in A і b \ in B виконується нерівність a \ leqslant b , Існує такий елемент \ Xi \ in \ mathsf {R} , Що для всіх a \ in A і b \ in B має місце співвідношення
    a \ leqslant \ xi \ leqslant b
  2. Для всякого перерізу в \ Mathsf {R} існує елемент, що виробляє це перетин
  3. Будь-яке непорожнє обмежене зверху безліч A \ subset \ mathsf {R} має Супремум
  4. Будь-яке непорожнє обмежене знизу безліч A \ subset \ mathsf {R} має інфімум

Як видно з цієї теореми, ці чотири пропозиції використовують лише те, що на \ Mathsf {R} введено відношення лінійного порядку, і не використовують структуру поля. Таким чином, кожне з них виражає властивість \ Mathsf {R} як лінійно упорядкованого безлічі. Ця властивість (довільного лінійно упорядкованого безлічі, не обов'язково безлічі дійсних чисел) називається безперервністю, або повнотою, по Дедекинда.

Доведення еквівалентності інших пропозицій вже вимагає наявності структури поля.

Теорема. Нехай \ Mathsf {R} - Довільне упорядковане поле. Наступні пропозиції рівносильні:

  1. \ Mathsf {R} (Як лінійно упорядкований безліч) є повним по Дедекинда
  2. Для \ Mathsf {R} виконані принцип Архімеда і принцип вкладених відрізків
  3. Для \ Mathsf {R} виконаний принцип Гейне - Бореля
  4. Для \ Mathsf {R} виконаний принцип Больцано - Вейєрштрасса

Зауваження. Як видно з теореми, принцип вкладених відрізків сам по собі не рівносильний принципом безперервності Дедекинда. З принципу безперервності Дедекинда слід принцип вкладених відрізків, проте для зворотного потрібно додатково вимагати, щоб упорядковане поле \ Mathsf {R} задовольняло аксіомі Архімеда

Доказ наведених теорем можна знайти в книгах зі списку літератури, наведеного нижче.


Примітки

  1. Зорич, В. А. Математичний аналіз. Частина I - Вид. 4-е, испр .. - М .: "МЦНМО", 2002. - С. 43.
  2. Наприклад, при визначенні аксіоматичному дійсного числа принцип безперервності Дедекинда входить до числа аксіом, а при конструктивному визначенні дійсного числа за допомогою дедекіндових перерізів те ж саме твердження вже є теоремою - див наприклад Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: "Физматлит", 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.
  3. Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - С. 38.
  4. Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - С. 84.
  5. Зорич, В. А. Математичний аналіз. Частина I - Вид. 4-е, испр .. - М .: "МЦНМО", 2002. - С. 81.
  6. Дедекинда, Р. Безперервність і ірраціональні числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen - 4-е виправлене видання. - Одеса: Mathesis, 1923. - 44 с.

Література

  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математичного аналізу - 5-е изд. - М .: "Дрофа", 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.
  • Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу - 7-е изд. - М .: "Физматлит", 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.
  • Дедекинда, Р. Безперервність і ірраціональні числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen - 4-е виправлене видання. - Одеса: Mathesis, 1923. - 44 с.
  • Зорич, В. А. Математичний аналіз. Частина I - Вид. 4-е, испр .. - М .: "МЦНМО", 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.
  • Безперервність функцій і числових областей: Б. Больцано, Л. О. Коші, Р. Дедекинда, Г. Кантор - 3-е изд. - К.: АНТ, 2005. - 64 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Безперервність
Равностепенная безперервність
Теорема Леві про безперервність
Міра безлічі
Міра безлічі
Потужність безлічі
Аксіома порожнього безлічі
Внутрішня точка безлічі
Ізольована точка безлічі
© Усі права захищені
написати до нас