Варіація Фреше
Варіація Фреше - одна з числових характеристик функції декількох змінних, яку можна розглядати як багатовимірний аналог варіації функції одного змінного.
1. Визначення
Варіація Фреше визначається як:
де - Действітельнозначная функція, задана на
-Мірному паралелепіпеді
- Довільне розбиття паралелепіпеда
гіперплоскостямі
такими, що
,
і
,
- де
,
.
- Крок розбиття;
(
) - Приріст функції по
-Ой координаті;
- Узагальнене приріст функції по перших
координатам (
);
(
) Довільним чином.
2. Застосування
Якщо , То кажуть, що функція
має обмежену (кінцеву) варіацію Фреше на
. Клас всіх таких функцій позначається через
.
При цей клас був введений М. Фреше [1] у зв'язку з дослідженням загального вигляду білінійної безперервного функціоналу
в просторі неперервних на квадраті
функцій виду
. Він довів, що всякий такий функціонал представляється у вигляді
де ,
.
Пізніше було показано, що для -Періодичних функцій класу
(
) Справедливі аналоги багатьох класичних ознак збіжності рядів Фур'є [2]. Так, наприклад, якщо
,
, То прямокутні часткові суми ряду Фур'є функції
в кожній точці
сходяться до числа
де підсумовування поширюється на всі можливих комбінацій знаків
. При цьому, якщо функція неперервна, то збіжність рівномірна. Це аналог ознаки Жордана.
Література
- Канторович, Л. В., Акілов, Г. П. Функціональний аналіз. - СПб: БХВ-Петербург, 2004. - 816 с. - ISBN 5-94157-597-1 .
Примітки
- Frechet М. Transactions of the American Mathematical Society. - 1915. - V. 16. - № 3. - P. 215-234.
- Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1949. - V. 35. - № 7. - P. 395-399.