Варіація Фреше

Варіація Фреше - одна з числових характеристик функції декількох змінних, яку можна розглядати як багатовимірний аналог варіації функції одного змінного.


1. Визначення

Варіація Фреше визначається як:

\ Times \ Delta_ {h ^ {(r_1)} _1 h ^ {(r_2)} _2 \ ldots h ^ {(r_n)} _n} (f; \; x ^ {(r_1)} _1, \; x ^ {(r_2)} _2, \; \ ldots, \; x ^ {(r_n)} _n) \ Bigg |,

де f (x) = f (x_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n) - Действітельнозначная функція, задана на n -Мірному паралелепіпеді D_n

D_n = [a_1, \; b_1] \ times [a_2, \; b_2] \ times \ ldots \ times [a_n, \; b_n];

\ Pi - Довільне розбиття паралелепіпеда D_nгіперплоскостямі x_s = x ^ {(r_s)} _s такими, що

x ^ {(0)} _s = a_s , x ^ {(l_s)} _s = b_s і x ^ {(r_s)} _s <x ^ {(r_s +1)} _s ,
де r_s = 0, \; 1, \; 2, \; \ ldots, \; l_s , s = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n .

h ^ {(r_s)} _s = x ^ {(r_s +1)} _s-x ^ {(r_s)} _s - Крок розбиття;

( k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n ) - Приріст функції по x_k -Ой координаті;

\ Delta_ {h_1h_2 \ ldots h_k} (f; \; x) = \ Delta_ {h_k} (\ Delta_ {h_1h_2 \ ldots h_ {k-1}}; \; x) - Узагальнене приріст функції по перших k координатам ( k = 2, \; 3, \; \ ldots, \; n );

\ Varepsilon ^ {(r_k)} _k = \ pm1 ( k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n ) Довільним чином.


2. Застосування

Якщо F (f; \; D_n) <\ infty , То кажуть, що функція f (x) має обмежену (кінцеву) варіацію Фреше на D_n . Клас всіх таких функцій позначається через F (D_n) .

При n = 2 цей клас був введений М. Фреше [1] у зв'язку з дослідженням загального вигляду білінійної безперервного функціоналу U (\ varphi_1, \ varphi_2) в просторі неперервних на квадраті Q_2 = [a, \; b] \ times [a, \; b] функцій виду \ Varphi_1 (x_1) \ varphi_2 (x_2) . Він довів, що всякий такий функціонал представляється у вигляді

де u (x_1, \; x_2) \ in F (Q_2) , u (a, \; x_2) \ equiv u (x_1, \; b) \ equiv0 .

Пізніше було показано, що для 2 \ pi -Періодичних функцій класу f (Q_n) ( Q_n = [0, \; 2 \ pi] \ times \ ldots \ times [0, \; 2 \ pi] ) Справедливі аналоги багатьох класичних ознак збіжності рядів Фур'є [2]. Так, наприклад, якщо f (x) \ in F (Q_n) , n = 2, \; 3, \; \ ldots , То прямокутні часткові суми ряду Фур'є функції f (x) в кожній точці x = (x_1, \; x_2, \ ldots, \; x_n) сходяться до числа

\ Frac {1} {2 ^ n} \ sum f (x_1 \ pm0, \; x_2 \ pm0, \; \ ldots, \; x_n \ pm0),

де підсумовування поширюється на всі 2 ^ n можливих комбінацій знаків \ Pm . При цьому, якщо функція неперервна, то збіжність рівномірна. Це аналог ознаки Жордана.


Література

Примітки

  1. Frechet М. Transactions of the American Mathematical Society. - 1915. - V. 16. - № 3. - P. 215-234.
  2. Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1949. - V. 35. - № 7. - P. 395-399.