Вища симетрія

Вища симетрія (узагальнена симетрія) - одне з фундаментальних понять розділу математики - групового аналізу.

Визначення

Вищу симетрію k-го порядку для диференціального рівняння в приватних похідних виду

$u_t = f (u, u_x, u_ {xx },...), \, (1)$

можна визначити як рівняння виду

$u_ \ tau = \ omega (u, u_x, u_ {xx },..., u_k), \, (2)$

таке, що диференціювання рівняння (1) по τ дає правильне тотожність:

$(U_t-f) _ \ tau | _ {u_t = f} = 0. \, (3)$

Інакше кажуть, що диференціювання (1) в силу рівняння (2) дає правильне тотожність. Допоміжна незалежна змінна τ є аналогом групового параметра a в класичних симетріях.

Легко показати, що умова (3) можна записати у симетричному вигляді:

$(U_t) _ \ tau = (u_ \ tau) _t. \, (4)$

Для обчислення вищих симетрій зручно застосувати оператор рекурсії. Наприклад, рівняння Бюргерса

u _t = u _{x x} + 2 u u _x

допускає оператор рекурсії

$R = D_x + u + u_1D ^ {-1} _x.$

Важливим питанням при дослідженні інтегрованості диференціального рівняння є наявність нескінченної ієрархії вищих симетрій. Дуже часто це властивість приймається за визначення інтегрувального рівняння. Таке визначення настільки ефективно, що дозволяє класифікувати інтегровані рівняння та відповідати на питання, чи є задане рівняння інтегрованим.

Література

Олвер П. Програми груп Лі до диференціальних рівнянь - М .: Світ, 1989. - 639 с.