Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Відкриті проблеми в теорії чисел



План:


Введення

Теорія чисел - це розділ математики, занімающіся переважно вивченням натуральних і цілих чисел і їх властивостей, часто із залученням методів математичного аналізу та інших розділів математики. Теорія чисел містить безліч проблем, спроби вирішення яких робилися математиками протягом десятків, а іноді навіть сотень років, але які поки так і залишаються відкритими. Нижче наведені деякі з найбільш відомих невирішених проблем.


1. Гіпотези про простих числах

  • Сильна проблема Гольдбаха. Кожне парне число, більше 2, можна представити у вигляді суми двох простих чисел.
  • Слабка проблема Гольдбаха. Кожне непарне число, більше 5, можна представити у вигляді суми трьох простих чисел (доведена для всіх досить великих непарних чисел).
  • Гіпотеза Артіна про нескінченність безлічі простих чисел, по модулю яких заданий ціле число є первісних коренем.
  • Гіпотеза Лежандра. Для будь-якого натурального n між n 2 і (N + 1) 2 знайдеться хоча б одне просте число.
  • Гіпотеза Брокард. Для будь-якого натурального n між p_n ^ 2 і p_ {n +1} ^ 2 (Де p n - Це n -Е просте число) знайдеться хоча б чотири простих числа.
  • Гіпотеза Поліньяка. Для будь-якого парного числа n знайдеться нескінченно багато пар сусідніх простих чисел, різниця між якими дорівнює n .
  • Чи правда, що для будь-якого позитивного ірраціонального числа θ і будь-якого позитивного \ Epsilon існує нескінченна кількість пар простих чисел (P, q), для яких виконується нерівність \ Left | \ theta-\ frac {p} {q} \ right | <q ^ {-2 + \ epsilon} ? [1]
  • Сходиться чи ряд \ Sum_ {k = 1} ^ \ infty (-1) ^ k \ frac {k} {p_k} ? [2]
  • Гіпотеза Гільбрайта (англ.). Для будь-якого натурального числа n послідовність абсолютних різниць n -Го порядку для послідовності простих чисел починається з 1. Абсолютні різниці 1-го порядку - це абсолютні величини різниць між сусідніми простими числами: 1, 2, 2, 4, 2, \ dots, різниці 2-го порядку - це абсолютні величини різниць між сусідніми елементами в послідовності абсолютних різниць 1-го порядку: 1, 0, 2, 2, 2, \ dots і т.д. Гіпотеза перевірена для всіх n <3 11 жовтень [3]
  • Відкритим є питання нескінченності кількості простих чисел в кожній з наступних послідовностей [4] :
Послідовність Назва
2 n - 1 числа Мерсенна
n 2 + 1 4-а проблема Ландау
n \ cdot 2 ^ n +1 числа Каллена (англ.)
2 ^ {2 ^ n} +1числа Ферма
F n числа Фібоначчі
пари (N, \; n +2)прості близнюки
пари (N, \; 2n +1)прості числа Софі Жермен

2. Гіпотези про скоєних числах

  • Не існує непарних досконалих чисел.
  • Кількість скоєних чисел нескінченно.

3. Гіпотези про дружніх числах

  • Не існує взаємно простих дружніх чисел.
  • Будь-яка пара дружніх чисел має однакову парність.

4. Діофантових рівняння

  • Чи кожне Перечіслімий безліч має одноразове диофантово подання? [5]
  • Чи може не мати одноразового диофантова подання об'єднання двох множин, кожне з яких має одноразове диофантово подання?
  • Чи кожне Перечіслімий безліч має диофантово подання у вигляді рівняння ступеня 3 щодо всіх змінних (параметрів і невідомих)?
  • Чи кожне Перечіслімий безліч має диофантово подання у вигляді рівняння ступеня 3 щодо невідомих?
  • Яке найменше число змінних може мати універсальне диофантово рівняння? Яку найменшу ступінь воно може мати при такій кількості змінних? Найменший відомий результат - 9 змінних. Найменша відома ступінь рівняння при 9 змінних перевищує 10 45. [6]
  • Яке найменше число змінних може мати універсальне диофантово рівняння ступеня 4? Найменший відомий результат становить 58.
  • Чи існує універсальне диофантово рівняння ступеня 3? Якщо так, то яке найменше число змінних воно може мати?
  • Яке найменшу кількість операцій (додавання, віднімання та множень) може мати універсальне диофантово рівняння? Найменший відомий результат становить 100.
  • Нескінченно чи безліч рішень диофантова рівняння 9 (u 2 + 7 v 2) - 7 (r 2 + 7 s 2) = 2 ?
  • Існування прямокутного паралелепіпеда з трьома цілочисельними ребрами і цілочисельними діагоналями.

Багато невирішені проблеми (наприклад, проблема Гольдбаха або гіпотеза Рімана) можуть бути переформульовані як питання про можливості розв'язання діофантових рівнянь 4-го ступеня деякого спеціального виду, однак така переформулировка зазвичай не робить проблему простіше через відсутність загального методу розв'язання діофантових рівнянь. [7] [5]


5. Аналітична теорія чисел

\ Pi (x) = \ int \ limits_2 ^ x \! \ Frac {dt} {\ ln t} + O \ left (\ sqrt x \ ln x \ right)?
  • Відомо, що кількість точок з позитивними цілочисельними координатами в області, обмеженої гіперболою x y = N і позитивними півосями, виражається асимптотичної формулою
    \ Phi (N) = \ sum_ {k = 1} ^ N \ tau (k) = N \ ln N + (2 \ gamma-1) N + O (N ^ \ theta),
де τ (k) - Кількість дільників числа k, γ - постійна Ейлера - Маскероні, а θ може бути вибрано рівним \ Frac {131} {416}. Однак, невідомо, при якому найменшому значенні θ ця формула залишиться вірною (відомо, що воно не менше ніж \ Frac {1} {4} ). [8] [9] [10]
  • Гіпотеза Заремби ( англ. Zaremba's conjecture ). Для будь-якого натурального числа q знайдеться таке число p, що в розкладанні \ Frac pq в ланцюгову дріб всі неповні приватні не перевершують п'яти. В 2011 доведено, що для дробів з неповними приватними, обмеженими 50, гіпотеза вірна на безлічі щільністю 1. [11]

6. Теорія Рамсея

  • Значення чисел Рамсея (англ.) R (r, \; s) . Точно відомі лише кілька перших чисел. Наприклад, невідомо, при якому найменшому N в будь-якій групі з N осіб знайдуться 5 людей, попарно знайомих один з одним, або 5 чоловік, попарно незнайомих один з одним - це число позначається R (5, \; 5) , Про нього відомо тільки, що 43 \ leqslant R (5, \; 5) \ leqslant 49 .
r, \; s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1 3 6 9 14 18 23 28 36 [40, 43]
4 1 4 9 18 25 [35, 41] [49, 61] [56, 84] [73, 115] [92, 149]
5 1 5 14 25 [43, 49] [58, 87] [80, 143] [101, 216] [125, 316] [143, 442]
6 1 6 18 [35, 41] [58, 87] [102, 165] [113, 298] [127, 495] [169, 780] [179, 1171]
7 1 7 23 [49, 61] [80, 143] [113, 298] [205, 540] [216, 1031] [233, 1713] [289, 2826]
8 1 8 28 [56, 84] [101, 216] [127, 495] [216, 1031] [282, 1870] [317, 3583] ≤ 6090
9 1 9 36 [73, 115] [125, 316] [169, 780] [233, 1713] [317, 3583] [565, 6588] [580, 12 677]
10 1 10 [40, 43] [92, 149] [143, 442] [179, 1171] [289, 2826] ≤ 6090 [580, 12 677] [798, 23 556]
  • Значення чисел ван дер Варден (англ.). На даний момент відомі значення тільки 6 перших чисел: 1, 3, 9, 35, 178, 1132 (послідовність A005346 в OEIS). Наприклад, невідомо, при якому найменшому N при будь-якому розбитті безлічі \ {1, 2, \ dots, N \} на дві підмножини хоча б одне з них буде містити арифметичну прогресію довжиною 7 (відомо, що 3704 \ leqslant N \ leqslant {} ^ 2 Серпень , Де вираз для верхньої межі використовує тетрацію). [12]

7. Інші проблеми

  • Нехай x - Позитивне число таке, що 2 x і 3 x - Цілі числа. Чи може x не бути цілим числом?
  • Існування злегка надлишкових чисел.
  • Чи існують попарно різні натуральні числа a, \; b, \; c, \; d такі, що a 5 + b 5 = c 5 + d 5 ? [13]
  • Чи існують дві різні Піфагорові трійки, що мають однакове твір? [14]
  • Гіпотеза Біля. Якщо A x + B y = C z, де A, \; B, \; C, \; x, \; y, \; z - Натуральні і x, \; y, \; z> 2 , То A, \; B, \; C мають загальний простий дільник.
  • Гіпотеза Ердеша (англ.). Якщо сума зворотних величин для деякого безлічі натуральних чисел розходиться, то в цій безлічі можна знайти скільки завгодно довгу арифметичну прогресію.
  • Наскільки велика може бути сума зворотних величин послідовності натуральних чисел, в якій ніякої елемент не дорівнює сумі кількох інших різних елементів? (Ердеш) [15]
  • Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n +1).
  • Гіпотеза жонглера (англ.). Будь-яка послідовність жонглера досягає 1. [16] Послідовність жонглера описується рекурсивної формулою
a_ {k +1} = \ begin {cases} \ left \ lfloor a_k ^ {1 / 2} \ right \ rfloor, & \ text {if} \ a_k \ \ text {is even}; \ \ \ \ \ left \ lfloor a_k ^ {3 / 2} \ right \ rfloor, & \ text {if} \ a_k \ \ text {is odd}. \ End {cases}
  • Проблема Брокард (англ.). Чи має рівняння n! + 1 = m 2 рішення в натуральних числах, крім (4, 5), (5, 11) і (7, 71)? [17]
  • Гіпотеза Томашевський. Тільки числа 1, 6 і 120 є одночасно і трикутними числами (тобто мають вигляд 1 +2 + \ ldots + m ), І факторіалів (тобто мають вигляд 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot n ).
  • Звичайно чи безліч натуральних чисел, які не можна уявити у вигляді суми 6 кубів невід'ємних цілих чисел? [18]
  • Звичайно чи безліч рішень рівняння 2 ^ n \ equiv 3 \ pmod n? В даний час відомо лише 5 рішень. [19]
  • Чи вірно твердження, що квадрат якого раціонального числа представимо у вигляді суми четверте ступенів чотирьох раціональних чисел?
  • Гіпотеза Сінгмастера (англ.). Позначимо через N (a) кількість разів, що натуральне число a , Більше одиниці, зустрічається в трикутнику Паскаля. Сінгмастер (англ.) показав, що N (a) = O (ln a) , Що в подальшому було покращено до N (a) = O (\ ln a \ cdot \ ln \ ln \ ln a \ cdot {\ ln} ^ {-3} \ ln a) . Чи вірно більш сильне твердження N (a) = O (1) ?

Примітки

  1. Mathematical developments arising from Hilbert problems - books.google.ru / books? id = 4lT3M6F745sC, стор 39
  2. Weisstein, Eric W. Prime Sums - mathworld.wolfram.com / PrimeSums.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. Weisstein, Eric W. Гіпотеза Гільбрайта - mathworld.wolfram.com / GilbreathsConjecture.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes - mathworld.wolfram.com / IntegerSequencePrimes.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  5. 1 2 Матіясевіч Ю. В. Десята проблема Гільберта - Наука, 1993.
  6. Jones JP (1980). " Undecidable diophantine equations - www.ams.org/bull/1980-03-02/S0273-0979-1980-14832-6/S0273-0979-1980-14832-6.pdf ". Bull. Amer. Math. Soc. 3: 859-862. DOI : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 - dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1980-14832-6.
  7. Yuri Matiyasevich, Hilbert's Tenth Problem: What was done and what is to be done - www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf
  8. А. А. Бухштаб Теорія чисел - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu - М .: Просвещение, 1966.
  9. Аналітична теорія чисел - dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/190/АНАЛИТИЧЕСКАЯ
  10. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem - mathworld.wolfram.com / DirichletDivisorProblem.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  11. J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba's Conjecture - arxiv.org/abs/1103.0422.
  12. Weisstein, Eric W. Число ван дер Варден - mathworld.wolfram.com / vanderWaerdenNumber.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  13. Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that a ^ 5 + b ^ 5 = c ^ 5 + d ^ 5? - cage.ugent.be / ~ hvernaev/problems/Proble18 . HTML Unsolved Problem Of The Week - cage.ugent.be / ~ hvernaev / problems / archive.html. MathPro Press.
  14. Weisstein, Eric W. пифагорова трійка - mathworld.wolfram.com / PythagoreanTriple.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  15. Weisstein, Eric W. A-Sequence - mathworld.wolfram.com / A-Sequence.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  16. послідовність A007320 в OEIS, послідовність A094716 в OEIS
  17. Weisstein, Eric W. Проблема Брокард - mathworld.wolfram.com / BrocardsProblem.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  18. Weisstein, Eric W. Cubic Number - mathworld.wolfram.com / CubicNumber.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  19. Weisstein, Eric W. Число 2 - mathworld.wolfram.com/2.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Відкриті математичні проблеми
Глобальні проблеми
Проблеми Смейла
Демографічні проблеми
Класичні проблеми математики
Проблеми управління (журнал)
Невирішені проблеми лінгвістики
Невирішені проблеми сучасної фізики
Економічні проблеми соціалізму в СРСР
© Усі права захищені
написати до нас