Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Відношення еквівалентності



План:


Введення

Відношення еквівалентності ( ~ ) На безлічі X - Це бінарне відношення, для якого виконані наступні умови:

  1. Рефлексивність : \, A \ sim a для будь-якого a в X ,
  2. Симетричність : якщо \, A \ sim b , То \, B \ sim a ,
  3. Транзитивність : якщо \, A \ sim b і \, B \ sim c , То \, A \ sim c .

Запис виду " \, A \ sim b "Читається як" a еквівалентно b ".


1. Пов'язані визначення

  • Класом еквівалентності C (a) елемента a називається підмножина елементів, еквівалентних a . З вищенаведеного визначення негайно випливає, що, якщо b \ in C (a) , То C (a) = C (b) .

Безліч всіх класів еквівалентності позначається X / ~ .

  • Для класу еквівалентності елемента a використовуються такі позначення: [A] , a / ~ , \ Overline {a} .
  • Безліч класів еквівалентності по відношенню ~ є розбиттям множини.

2. Приклади відносин еквівалентності


3. Факторизация відображень

Безліч класів еквівалентності, що відповідає відношенню еквівалентності ~ , Позначається символом X / ~ і називається фактор-множиною щодо ~ . При цьому сюр'ектівное відображення

p \ colon x \ mapsto C_x

називається природним відображенням (або канонічної проекцією) X на фактор-множина X / ~ .

Нехай X , Y - Множини, f \ colon X \ to Y - Відображення, тоді бінарне відношення x \, {R_f} \, y певне правилом

x \ mathop {R_f} y \ iff f (x) = f (y), \ quad x, y \ in X

є відношенням еквівалентності на X . При цьому відображення f індукує відображення \ Overline {f} \ colon X / R_f \ to Y , Обумовлений правилом

\ Overline {f} (C_x) = f (x)

або, що те ж саме,

(\ Overline {f} \ circ p) (x) = f (x) .

При цьому виходить факторизація відображення f на сюр'ектівное відображення p і ін'ектівное відображення \ Overline {f} .


Література

  • А. І. Кострикін, Введення в алгебру. М .: Наука, 1977, 47-51.
  • А. І. Мальцев, Алгебраїчні системи, М .: Наука, 1970, 23-30.
  • В. В. Іванов, Математичний аналіз. НГУ, 2009.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Точка еквівалентності
Принцип еквівалентності сил гравітації та інерції
Бінарне відношення
Передавальне відношення
Антисиметрична відношення
Симетричне відношення
Відношення (реляційна модель)
Відношення сигнал / шум
Пікове відношення сигналу до шуму
© Усі права захищені
написати до нас