Відрахування (комплексний аналіз)

План:

1 Історія
2 Одновимірна комплексний аналіз
- 2.1 Визначення
- 2.2 Способи обчислення відрахувань
3 Застосування теорії вирахувань
- 3.1 Обчислення визначених інтегралів від тригонометричних функцій
- 3.2 Обчислення невласних інтегралів
4 Багатовимірний комплексний аналіз

Введення

В комплексному аналізі вирахуванням заданого об'єкта (функції, форми) називається об'єкт (число, форма або когомологіческій клас форми), що характеризує локальні властивості заданого.

1. Історія

Теорія вирахувань одного комплексного змінного була в основному розроблена О. Коші в 1825 - 1829 рр.. Крім нього, важливі і цікаві результати були отримані Ш. Ерміта, Ю. Сохоцкім, Е. Лінделефом і багатьма іншими.

В 1887 А. Пуанкаре узагальнив інтегральну теорему Коші і поняття вирахування на випадок двох змінних ^[1], з цього моменту і бере свій початок багатовимірна теорія відрахувань. Однак, виявилося, що узагальнити це поняття можна різними способами.

2. Одновимірна комплексний аналіз

2.1. Визначення

Нехай f (z) - комплекснозначних функція в області $D \ subseteq \ mathbb C$ , голоморфних в деякій проколеної околиці точки $a \ in D$ . Вирахуванням функції f (z) в a називається число

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _a \, f (z) = \ lim_ {\ rho \ to0} {1 \ over {2 \ pi i}} \ int \ limits_ {| za | = \ rho} \! f (z) \, dz$ .

В силу голоморфних функції f (z) в малій проколеної околиці точки a по теоремі Коші величина інтеграла не залежить від ρ при досить малих значеннях цього параметра, так само як і від форми шляху інтегрування. Важливо тільки те, що шлях є замкненою кривої в області аналітичності функції, один раз охоплює розглянуту точку і ніяких інших точок не належать області голоморфних f .

В деякій околиці крапки a функція f (z) представляється сходящимся поруч Лорана за ступенями z - a . Неважко показати, що відрахування збігається з коефіцієнтом ряду c _{- 1} при (Z - a) ^{- 1} . Часто це подання приймають за визначення вирахування функції.

2.1.1. Відрахування в "нескінченності"

Для можливості більш повного вивчення властивостей функції вводиться поняття вирахування в нескінченності, при цьому вона розглядається як функція на сфері Рімана. Нехай нескінченно віддалена точка є ізольованою особливою точкою f (z) , Тоді вирахуванням у нескінченності називається комплексне число, рівне

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _ \ infty \, f (z) =- \ lim_ {\ rho \ to \ infty} {1 \ over {2 \ pi i}} \ int \ limits_ {| z | = \ rho} \! f (z) \, dz$ .

Цикл інтегрування в цьому визначенні орієнтований позитивно, тобто проти годинникової стрілки.

Аналогічно попередньому випадку відрахування у нескінченності має уявлення і у вигляді коефіцієнта лоранівські розкладання в околиці нескінченно віддаленої точки:

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _ \ infty \, f (z) =- c_ {-1}$ .

2.1.2. Відрахування диференціальної форми

З точки зору аналізу на многообразиях вводити спеціальне визначення для деякої виділеної точки сфери Рімана (в даному випадку, нескінченно віддаленій) неприродно. Більш того, такий підхід важко узагальнити на більш високі розмірності. Тому поняття вирахування вводиться не для функцій, а для диференціальних $(1, \; 0)$ -Форм на сфері Рімана:

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _a \, \ omega = \ lim_ {\ rho \ to0} {1 \ over {2 \ pi i}} \ int \ limits_ {| za | = \ rho} \! \ Omega$ .

На перший погляд різниці у визначеннях ніякої, проте тепер a - Довільна точка $\ Overline {\ mathbb C}$ , І зміна знака при обчисленні вирахування в нескінченності досягається за рахунок заміни змінних в інтегралі.

2.1.3. Логарифмічні відрахування

Інтеграл ${1 \ over {2 \ pi i}} \ oint \ limits_L \! {F ^ \ prime (z) \ over f (z)} \, dz$ називається логарифмічним вирахуванням функції f (z) щодо контуру L .

Поняття логарифмічного відрахування використовується для доказу теореми Руше і основний теореми алгебри

2.2. Способи обчислення відрахувань

Відповідно до визначення відрахування може бути обчислений як контурний інтеграл, проте в загальному випадку це досить трудомістким. Тому на практиці користуються, в основному, наслідками з визначення:

В усуненою особливій точці $a \ in \ mathbb C$ , Так само як і в точці регулярності, відрахування функції f (z) дорівнює нулю. У той же час для нескінченно віддаленої точки це твердження не вірно. Наприклад, функція $f (z) = \ frac {1} {z}$ має у нескінченності нуль першого порядку, однак, $\ Mathop {\ mathrm {Res}} _ {\ infty} \, \ frac1 {z} =- 1$ . Причина цього в тому, що форма $\ Frac {dz} {z}$ має особливість як в нулі, так і в безкінечності.

В полюсі a кратності n відрахування може бути обчислений за формулою:

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _a \, f (z) = {1 \ over (n-1)!} \ Lim_ {z \ to a} {{d ^ {(n-1)} \ over dz ^ {(n-1 )}}[( za) ^ nf (z)]}$ ,

окремий випадок n = 1

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _a \, f (z) = \ lim_ {z \ to a} {(za) f (z)}$ .

Якщо функція $f (z) = \ frac {g (z)} {h (z)}$ має простий полюс у точці a , Де g (z) і h (z) голоморфних в околиці a функції, h (a) = 0 , $g (a) \ neq0$ , То можна використовувати більш просту формулу:

$\ Mathop {\ mathrm {Res}} _a \, f (z) = \ frac {g (a)} {h ^ \ prime (a)}$ .

Дуже часто, особливо у випадку істотно особливих точок, зручно обчислювати відрахування користуючись розкладанням функції в ряд Лорана. Наприклад, , Так як коефіцієнт при z ^{- 1} дорівнює 1.

3. Застосування теорії вирахувань

У більшості випадків теорія відрахувань застосовується для обчислення різного роду інтегральних виразів за допомогою основної теореми про відрахування. Часто корисною в даних випадках буває лема Жордана.

3.1. Обчислення визначених інтегралів від тригонометричних функцій

Нехай функція $R (u, \; v)$ - раціональна функція змінних u і v . Для обчислення інтегралів виду $\ Int \ limits_0 ^ {2 \ pi} R \! (\ Sin \ varphi; \; \ cos \ varphi) \, d \ varphi$ зручно використовувати формули Ейлера. Поклавши, що z = e ^{i φ} , І зробивши відповідні перетворення, отримаємо:

$\ Int \ limits_0 ^ {2 \ pi} \! R (\ sin \ varphi, \; \ cos \ varphi) \, d \ varphi = 2 \ pi i \ sum \ mathop {\ mathrm {Res}} _ {z = z_k} R (z)$ .

3.2. Обчислення невласних інтегралів

Для обчислення невласних інтегралів із застосуванням теорії відрахувань використовують наступні дві леми:

1. Нехай функція f (z) голоморфних у верхній півплощині $I ^ + = \ {z \ mid \ operatorname {Im} \, z \ geqslant0 \}$ і на речовій осі за винятком кінцевого числа n полюсів, які не лежать на речовій осі і $\ Lim_ {z \ to \ infty} zf (z) = 0$ . Тоді

$\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! F (x) \, dx = 2 \ pi i \ sum_ {k = 1} ^ n \ mathop {\ mathrm {Res}} _ {z = z_k} f (z)$ .

2. Нехай функція f (z) голоморфних у верхній півплощині $I ^ + = \ {z \ mid \ operatorname {Im} \, z \ geqslant0 \}$ і на речовій осі за винятком кінцевого числа n полюсів, які не лежать на речовій осі, $\ Lim_ {z \ to \ infty} zf (z) = 0$ і α> 0 . Тоді

$\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! F (x) e ^ {i \ alpha x} \, dx = 2 \ pi i \ sum_ {k = 1} ^ n \ mathop {\ mathrm {Res}} _ {z = z_k} f (z) e ^ {i \ alpha z}$

При цьому інтеграли в лівих частинах рівностей не зобов'язані існувати і тому розуміються тільки лише в сенсі головного значення (за Коші).

4. Багатовимірний комплексний аналіз

4.1. Форма-відрахування і клас-вирахування

4.2. Локальний вирахування

4.3. Вичетний потік

Примітки

H. Poincar Sur les rsidues des intgrales doubles / / Acta Math.. - 1887. - № 9. - С. 321-380. - DOI : 10.1007/BF02406742 - dx.doi.org/10.1007/BF02406742

Література

Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз - М .: Наука, 1976.
Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної - М .: Наука, 1979.
Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Інтегральні представлення і відрахування в багатовимірному комплексному аналізі - Новосибірськ: Наука, 1979.
Цих А. К. Багатовимірні відрахування та їх застосування - Новосибірськ: Наука, 1988.