Знаймо![]() приховати рекламу
| Цей текст може містити помилки. Відрахування (комплексний аналіз)План:
Література ВведенняВ комплексному аналізі вирахуванням заданого об'єкта (функції, форми) називається об'єкт (число, форма або когомологіческій клас форми), що характеризує локальні властивості заданого. 1. ІсторіяТеорія вирахувань одного комплексного змінного була в основному розроблена О. Коші в 1825 - 1829 рр.. Крім нього, важливі і цікаві результати були отримані Ш. Ерміта, Ю. Сохоцкім, Е. Лінделефом і багатьма іншими. В 1887 А. Пуанкаре узагальнив інтегральну теорему Коші і поняття вирахування на випадок двох змінних [1], з цього моменту і бере свій початок багатовимірна теорія відрахувань. Однак, виявилося, що узагальнити це поняття можна різними способами. 2. Одновимірна комплексний аналіз2.1. Визначення Нехай f (z) - комплекснозначних функція в області
В силу голоморфних функції f (z) в малій проколеної околиці точки a по теоремі Коші величина інтеграла не залежить від ρ при досить малих значеннях цього параметра, так само як і від форми шляху інтегрування. Важливо тільки те, що шлях є замкненою кривої в області аналітичності функції, один раз охоплює розглянуту точку і ніяких інших точок не належать області голоморфних f . В деякій околиці крапки a функція f (z) представляється сходящимся поруч Лорана за ступенями z - a . Неважко показати, що відрахування збігається з коефіцієнтом ряду c - 1 при (Z - a) - 1 . Часто це подання приймають за визначення вирахування функції. 2.1.1. Відрахування в "нескінченності"Для можливості більш повного вивчення властивостей функції вводиться поняття вирахування в нескінченності, при цьому вона розглядається як функція на сфері Рімана. Нехай нескінченно віддалена точка є ізольованою особливою точкою f (z) , Тоді вирахуванням у нескінченності називається комплексне число, рівне
Цикл інтегрування в цьому визначенні орієнтований позитивно, тобто проти годинникової стрілки. Аналогічно попередньому випадку відрахування у нескінченності має уявлення і у вигляді коефіцієнта лоранівські розкладання в околиці нескінченно віддаленої точки:
2.1.2. Відрахування диференціальної форми З точки зору аналізу на многообразиях вводити спеціальне визначення для деякої виділеної точки сфери Рімана (в даному випадку, нескінченно віддаленій) неприродно. Більш того, такий підхід важко узагальнити на більш високі розмірності. Тому поняття вирахування вводиться не для функцій, а для диференціальних
На перший погляд різниці у визначеннях ніякої, проте тепер a - Довільна точка 2.1.3. Логарифмічні відрахування Інтеграл Поняття логарифмічного відрахування використовується для доказу теореми Руше і основний теореми алгебри 2.2. Способи обчислення відрахуваньВідповідно до визначення відрахування може бути обчислений як контурний інтеграл, проте в загальному випадку це досить трудомістким. Тому на практиці користуються, в основному, наслідками з визначення:
окремий випадок n = 1
3. Застосування теорії вирахуваньУ більшості випадків теорія відрахувань застосовується для обчислення різного роду інтегральних виразів за допомогою основної теореми про відрахування. Часто корисною в даних випадках буває лема Жордана. 3.1. Обчислення визначених інтегралів від тригонометричних функцій Нехай функція
3.2. Обчислення невласних інтегралівДля обчислення невласних інтегралів із застосуванням теорії відрахувань використовують наступні дві леми: 1. Нехай функція f (z) голоморфних у верхній півплощині
2. Нехай функція f (z) голоморфних у верхній півплощині При цьому інтеграли в лівих частинах рівностей не зобов'язані існувати і тому розуміються тільки лише в сенсі головного значення (за Коші). 4. Багатовимірний комплексний аналіз4.1. Форма-відрахування і клас-вирахування4.2. Локальний вирахування4.3. Вичетний потікПримітки
Література
Цей текст може містити помилки. Схожі роботи | скачати Схожі роботи: Комплексний аналіз Особливість (комплексний аналіз) Полюс (комплексний аналіз) Нуль (комплексний аналіз) Тотожність Ейлера (комплексний аналіз) Основна теорема про відрахування Комплексний тип даних Комплексний книготорговий індекс-шифр Аналіз |