Гамма-розподіл

Гамма-розподіл
Щільність ймовірності
Щільності гамма-розподілів
Функція розподілу
Функції гамма-розподілів
Позначення {{{Notation}}}
Параметри k> 0, \, \ theta> 0 \, - коефіцієнт масштабу
Носій x \ in [0; \ infty) \!
Щільність ймовірності x ^ {k-1} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ Gamma (k) \ theta ^ k}
Функція розподілу \ Frac {\ gamma (k, x / \ theta)} {\ Gamma (k)}
Математичне сподівання k \ theta \,
Медіана
Мода (K-1) \ theta \, , Коли k \ geq 1 \,
Дисперсія k \ theta ^ 2 \,
Коефіцієнт асиметрії \ Frac {2} {\ sqrt {k}}
Коефіцієнт ексцесу \ Frac {6} {k}
Інформаційна ентропія k \ theta + (1-k) \ ln (\ theta) + \ ln (\ Gamma (k)) \,
+ (1-k) \ psi (k) \,
Твірна функція моментів (1 - \ theta \, t) ^ {-k} , Коли t <1 / \ theta
Характеристична функція (1 - \ theta \, i \, t) ^ {-k}


Гамма-розподіл в теорії ймовірностей - це двохпараметричного сімейство абсолютно неперервних розподілів. Якщо параметр k приймає ціле значення, то таке гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.


1. Визначення

Нехай розподіл випадкової величини X задається щільністю ймовірності, що має вигляд

f_X (x) = \ left \ {\ begin {matrix} x ^ {k-1} \ frac {e ^ {-x / \ theta}} {\ theta ^ k \, \ Gamma (k)}, & x \ ge 0 \ \ 0, & x <0 \ end {matrix} \ right., де \ Gamma (k) - гамма-функція Ейлера.

Тоді кажуть, що випадкова величина X має гамма-розподіл з параметрами k і \ Theta . Пишуть X \ thicksim \ Gamma (k, \ theta) .

Зауваження. Іноді використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр - зрушення.


2. Моменти

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини X , Що має гамма-розподіл, мають вигляд

\ Mathbb {E} [X] = k \ theta ,
\ Mathbb {D} [X] = k \ theta ^ 2 .

3. Властивості гамма-розподілу

Y = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n X_i \ sim \ Gamma \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n k_i, \ theta \ right) .
  • Якщо X \ thicksim \ Gamma (k, \ theta) , І a> 0 - Довільна константа, то
aX \ thicksim \ Gamma (k, a \ theta) .

4. Зв'язок з іншими розподілами

\ Gamma (1,1 / \ theta) \ equiv \ mathrm {Exp} (\ theta) .
  • Якщо X_1, \ ldots, X_k - Незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що X_i \ sim \ mathrm {Exp} (\ theta), \; i = 1, \ ldots, k , То
Y = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k X_i \ sim \ Gamma (k, 1 / \ theta) .
\ Gamma \ left (\ frac {n} {2}, \ frac {1} {2} \ right) \ equiv \ chi ^ 2 (n) .
\ Gamma (k, \ theta) \ approx \ mathrm {N} (k \ theta, k \ theta ^ 2) при k \ to \ infty .
  • Якщо X_1, X_2 - Незалежні випадкові величини, такі що X_i \ sim \ Gamma (k_i, 1), \; i = 1,2 , То
\ Frac {X_1} {X_1 + X_2} \ sim \ mathrm {\ Beta} (k_1, k_2) .

5. Моделювання гамма-величин

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, вказане вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл \ Gamma (1, 1) збігається з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U - випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то {- \ Ln U} \ sim \ Gamma (1, 1) .

Тепер, використовуючи властивість k-підсумовування, узагальнимо цей результат:

\ Sum_ {i = 1} ^ n {- \ ln U_i} \ sim \ Gamma (n, 1),

де U i - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилося змоделювати гамма-величину для 0 <1 і ще раз застосувати властивість k-підсумовування. Це є найскладнішою частиною.

Нижче наведено алгоритм без доказу. Він є прикладом вибірки з відхиленням.

  1. Покласти m рівним 1.
  2. Згенерувати V_ {2m - 1} і V_ {2m} - Незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
  3. Якщо V_ {2m - 1} \ le v_0 , Де v_0 = \ frac e {e + \ delta} , Перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
  4. Покласти \ Xi_m = \ left (\ frac {V_ {2m - 1}} {v_0} \ right) ^ {\ frac 1 \ delta}, \ \ eta_m = V_ {2m} \ xi _m ^ {\ delta - 1} . Перейти до кроку 6.
  5. Покласти \ Xi_m = 1 - \ ln {\ frac {V_ {2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \ eta_m = V_ {2m} e ^ {- \ xi_m} .
  6. Якщо \ Eta_m> \ xi_m ^ {\ delta - 1} e ^ {- \ xi_m} , То збільшити m на одиницю і повернутися до кроку 2.
  7. Прийняти \ Xi = \ xi_m за реалізацію \ Gamma (\ delta, 1) .

Підсумуємо:

\ Theta \ left (\ xi - \ sum _ {i = 1} ^ {[k]} {\ ln U_i} \ right) \ sim \ Gamma (k, \ theta),

де [k] є цілою частиною k, а ξ сгенерирована за алгоритмом, наведеним вище при δ = {k} (дробова частина k); U i і V l розподілені як зазначено вище і попарно незалежні.

Bvn-small.png п про р Імовірнісні розподілу
Одномірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | биномиальное | геометричне | гіпергеометричні | логарифмічне | негативне биномиальное | Пуассона | дискретне рівномірне мультіноміальное
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненціальное | Колмогорова | Коші | Лапласа | логнормальний | нормальне (Гауса) | логістичне | Накагамі | Парето | напівкруговими | безперервне рівномірне | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | variance-gamma багатовимірне нормальне | копула