Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гамма-функція



План:


Введення

Гамма-функція - математична функція, яка розширює поняття факторіала на поле комплексних чисел. Зазвичай позначається Γ (z) .

Була введена Леонардом Ейлером, а своїм позначенням гамма-функція зобов'язана Лежандру.


1. Визначення

Графік гамма-функції дійсного змінного

Якщо речова частина комплексного числа z позитивна, то Гамма-функція визначається через інтеграл

~ \ Gamma (z) = \ int \ limits_0 ^ {+ \ infty} \! T ^ {\, {\ mathrm z} -1} e ^ {-t} \, dt

На всю комплексну площину функція аналітично продовжується через тотожність

~ \ Gamma (z +1) = z \ Gamma (z) .

1.1. Альтернативне визначення

Наступне нескінченне твір служить альтернативним визначенням Гамма-функції. Воно вірно для всіх комплексних z , За винятком 0 і негативних цілих

\ Gamma (z) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n! \; N ^ {\ mathrm z}} {z \; (z +1) \ cdots (z + n)} = \ frac {1} {z} \ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ {\ mathrm z}} {1 + \ frac {\ mathrm z} {n}}

1.2. Зауваження

виконується для подинтегрального вираження.
\ Gamma (n +1) = n \ cdot \ Gamma (n) = \ ldots = n! \ cdot \ Gamma (1) = n!

2. Пов'язані визначення

  • Іноді використовується альтернативна запис, так звана пі-функція, що залежить від гамма-функції таким чином:
    Π (z) = Γ (z + 1) = z Γ (z) .
  • В інтегралі вище, визначає гамма-функцію, межі інтегрування фіксовані. У неповній гамма-функції допускається, щоб верхній або нижня межа інтегрування був змінним. Неповну гамма-функцію часто позначають як гамма-функцію від двох аргументів:
    \ Gamma (a, z) = \ int \ limits_ {\ mathrm z} ^ {\ infty} \! {E ^ {-t} t ^ {a-1} \, dt} .

3. Властивості

Графік модуля гамма-функції на комплексній площині.
  • формула додатки
    \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin \ pi z} .
  • Ймовірно, найбільш відоме значення гамма-функції від нецілого аргументу це
    \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ sqrt {\ pi} .
  • Гамма-функція має полюс в z = - n для будь-якого натурального n і нуля; відрахування в цій точці задається так
    \ Operatorname {\ mathrm {Res}} _ {z =- n} \, \ Gamma (z) = \ frac {(-1) ^ n} {n!} .
  • Наступне нескінченне твір для гамма-функції, як показав Вейерштрасс, вірно для всіх комплексних z , Які не є непозитивно цілими:
    \ Gamma (z) = \ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z} \ prod_ {k = 1} ^ \ infty \ left (1 + \ frac {z} {k} \ right) ^ {- 1} e ^ {z / k} ,
де γ - Це константа Ейлера.
  • формула, отримана Гауссом :
    .
  • Основне, але корисне властивість, яка може бути отримано з граничного визначення:
    \ Overline {\ Gamma (z)} = \ Gamma (\ overline {z}) .
  • Гамма-функція дифференцируема нескінченне число разів, і \ Gamma ^ \ prime (x) = \ psi (x) \ Gamma (x) , Де ψ (x) часто називають "пси-функцією", або дігамма-функцією.
  • Гамма-функція і бета-функція пов'язані наступним співвідношенням:
    \ Beta (x, \; y) = \ frac {\ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)} .



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Гамма-ДЕ
Гамма (музика)
Гамма-випромінювання
Гамма (літера)
Гамма Ліри
Гамма-камера
Гамма Лебедя
Гамма-астрономія
Гамма-розподіл
© Усі права захищені
написати до нас