Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гомологія (топологія)



План:


Введення

Гомології - одне з основних понять алгебраїчної топології.

Дає можливість будувати алгебраїчний об'єкт ( групу або кільце) який є топологічним інваріантом простору.

Замкнута лінія на поверхні гомологична нулю, якщо при розрізуванні вздовж цієї лінії поверхню розпадеться на частини.

Наприклад, на сфері будь-яка замкнута лінія є такий, а на торі, хоча і сущeствуют гомологічні нулю замкнуті лінії, але розріз по меридіану або паралелі не призведе до відділення шматка поверхні.


1. Сімпліціальние гомології

Сімпліціальние гомології визначаються найбільш просто. Спочатку визначимо деякі поняття.

1.1. Симплекс і комплекси

Симплексом розмірності k будемо називати опуклу оболонку точок \ Langle a_0, a_1 ,...~ a_k \ rangle , Які не лежать в одному (K - 1) -Мірному підпросторі. 0-мірний симплекс \ Langle a_0 \ rangle є крапкою, 1-мірний \ Langle a_0, a_1 \ rangle відрізком, 2-мірний \ Langle a_0, a_1, a_2 \ rangle трикутником, 3-мірний \ Langle a_0, a_1, a_2, a_3 \ rangle тетраедром і т. д. Симплекс, породжений частиною точок \ Langle a_i \ rangle , Називається межею великого симплекса.

Потім введемо поняття сімпліціального комплексу (з наголосом на ме). Комплексом K називається безліч симплекс, з кожним з яких в комплекс входять всі його грані, і будь-які два симплекса небудь взагалі не мають спільної точки, або перетинаються тільки по цілій межі деякої розмірності, причому тільки з однієї грані. Зазвичай вимагають ще, щоб будь точка комплексу мала околиця, перетинаються не більш ніж з кінцевим числом симплекс (т. зв. Локальна кінцівку).


1.2. Ланцюги комплексів

Розглянемо градуйовану абелева групу з цілочисельними коефіцієнтами, породжену симплекса комплексу, т. зв. групу ланцюгів C (K) , Що є прямий сумою груп ланцюгів розмірності k: \; C_k (K) .

Симплекс вважаємо мають орієнтацію і симплекс \ Langle a_0, a_1 ,...~ a_k \ rangle будемо вважати рівним \ Langle a_ {\ sigma (0)}, a_ {\ sigma (1 )},...~ a_ {\ sigma (k)} \ rangle , Якщо перестановка σ парна і мають протилежний знак, якщо вона непарна.


1.3. Грані ланцюга

Визначимо оператор взяття геометричній i -Й грані:

\ Langle a_0 ,...~ a_i ,...~ a_k \ rangle \ to (-1) ^ i \ langle a_0 ,...~ \ hat {a_i },...~ a_k \ rangle , Де \ Hat {a_i} означає, що i -Я вершина повинна бути пропущена.

Оператор взяття геометричній межі залежить тільки від самого симплекса, але не від порядку вершин, які задають симплекс.

Для цього достатньо довести, що оператор взяття i -Й грані не зміниться при перестановці двох вершин (транспозиції). Якщо ця транспозиція не зачіпає a i , То це очевидно. Якщо вона переставляє a i на j -Е місце, то маємо (нехай, наприклад, j ):

\ Begin {matrix} \ langle a_0 ,...~ a_j ,...~ a_i ,...~ a_k \ rangle = - \ langle a_0 ,...~ a_i ,...~ a_j ,...~ a_k \ rangle \ to - (-1) ^ j \ langle a_0 ,...~ \ hat {a_i },...~ a_ {i-1}, ~ a_j ,...~ a_k \ rangle = \ \ = - (-1) ^ j (-1) ^ {ij-1} \ langle a_0, ... a_j ,...~ a_ {i-1}, \ hat {a_i }...~ a_k \ rangle = (-1) ^ i \ langle a_0 ,...~ a_j ,...~ \ hat {a_i },...~ a_k \ rangle \ end {matrix}

- Що і очікувалося (повертаючи \ Hat {a_i} на старе місце, треба зробити i - j + 1 транспозицію, відповідно стільки ж разів поміняти знак).

Визначимо оператор орієнтованої кордону симплекса наступним чином:

\ Partial_k \ langle a_0 ,...~ a_k \ rangle = \ sum (-1) ^ i \ langle a_0 ,...~ \ hat {a_i },...~ a_k \ rangle

Взяття граничного оператора знижує розмірність на 1. Для 0-мірного симплекса (точки) A вважаємо \ Partial {A} = 0 . За лінійності поширимо оператор \ Partial на будь-яку ланцюг. Основною властивістю граничного оператора є наступне:

\ Partial_ {k-1} \ partial_k = 0

Застосування \ Partial_ {k-1} \ partial_k до симплекс \ Langle a_0, a_1 ,...~ a_k \ rangle призводить до видалення двох вершин останнього. Припустимо, що j .

Симплекс \ Langle a_0 ,...~ \ hat {a_j },...~ \ hat {a_i },...~ a_k \ rangle входить в результат першої дії оператора (-1) ^ I \ partial \ langle \ hat {a_i} \ rangle зі знаком (- 1) i + j , А в (-1) ^ J \ partial \ langle \ hat {a_j} \ rangle зі знаком (- 1) i + j - 1 , Так як з видалення \ Hat {a_j} вершина \ Hat {a_i} буде вже не на i -Му місці, а на (I - 1) -Ом. Ці знаки протилежні, значить \ Partial_ {k-1} \ partial_k дорівнюватиме нулю для якого симплекса, а по лінійності - для будь-ланцюга.


1.4. Сімпліціальние гомології на комплексах і поліедра

Поліедрів (у широкому сенсі) називається топологічний простір, гомеоморфні комплексу.

Фіксація такого гомеоморфізм називається тріангуляцією.

На комплексах і поліедра вводяться сімпліціальние гомології наступним чином:

Розглянемо групу ланцюгів розмірності k з симплекс нашого комплексу K , Що позначається C k (K) .

Ланцюг c , На якій значення граничної оператора \ Partial_k c = 0 одно нулю (інакше кажучи, c \ in \ operatorname {Ker} \; \ partial_k ) Називається циклом; їх безліч позначимо Z k (K) .

Якщо для деякої ланцюга c ' виконується c = \ partial_ {k +1} c ' (Інакше кажучи, c \ in \ operatorname {Im} \; \ partial_ {k +1} ), То ланцюг c називається кордоном; безліч кордонів позначимо B k (K) .

Так як оператор \ Partial лине, то і межі, і цикли утворюють підгрупи групи ланцюгів. З того, що \ Partial \ partial = 0 зрозуміло, що будь-який кордон є циклом, тобто, B_k \ subseteq Z_k .

Дві ланцюга називаються гомологічними, якщо вони відрізняються на кордон. Це записується x ~ y (Тобто x = y + \ partial z ).

Факторгруппамі H_k = Z_k (K) / B_k (K) = \ operatorname {Ker} \; \ partial_k / \ operatorname {Im} \; \ partial_ {k +1} називається групою k-мірних сімпліціальних гомологий комплексу.


1.4.1. Приклад

Нехай S 1 - Одномірний комплекс, що є кордоном двовимірного симплекса (трикутника) \ Langle a_0, a_1, a_2 \ rangle . Знайдемо його гомології.

B 1 = 0 , Так як в комплексі двовимірних симплексом немає. Тому H 1 = Z 1 / B 1 = Z 1 . Дізнаємося тепер, коли одномірна ланцюг може бути циклом.

Візьмемо довільну ланцюг c = x \ langle a_0, a_1 \ rangle + y \ langle a_1, a_2 \ rangle + z \ langle a_2, a_0 \ rangle . Маємо:

\ Partial c = (zx) \ langle a_0 \ rangle + (xy) \ langle a_1 \ rangle + (yz) \ langle a_2 \ rangle = 0 .

Значить, z-x = x-y = y-z = 0; \ quad x = y = z . Тому будь-який одновимірний цикл c має вигляд

x (\ langle a_0, a_1 \ rangle + \ langle a_1, a_2 \ rangle + \ langle a_2, a_0 \ rangle)

- Значить 1 = H Z 1 є просто нескінченна циклічна група \ Mathbb {} Z .

Знайдемо нульмерние гомології. Так як \ Partial_0 = 0 , То Z 0 = C 0 . З рівності \ Partial \ langle a_0, a_1 \ rangle = \ langle a_1 \ rangle-\ langle a_0 \ rangle випливає, що \ Langle a_1 \ rangle і \ Langle a_0 \ rangle відрізняються на кордон. Аналогічно \ Langle a_1 \ rangle і \ Langle a_2 \ rangle відрізняються на кордон, тому з точністю до кордону будь нульмерние ланцюг має вигляд t \ langle a_0 \ rangle . Тобто, C 0 є просто нескінченною циклічної групою \ Mathbb {Z} . Якщо вона сама є кордоном, тобто t \ langle a_0 \ rangle = \ partial c = (zx) \ langle a_0 \ rangle + (xy) \ langle a_1 \ rangle + (yz) \ langle a_2 \ rangle , То маємо, що x-y = y-z = 0; \ quad x y = = z; \ quad t = z-x = 0 , Тому B 0 = 0 і H_0 = C_0/B_0 = \ mathbb {Z} .

Разом, для межі двовимірного симплекса H_0 = H_1 = \ mathbb {} Z .


1.5. Деякі властивості гомологий

Якщо гомології комплексу K визначені, то вони ж вважаються гомологиям поліедра | K | , Що відповідає цьому комплексу.

Однак слід довести незалежність груп гомологий від вибору тріангуляції.

Можна довести що безперервному відображенню поліедрів f: | K | \ to | L | відповідає гомоморфізм f_ *: H_k (K) \ to H_k (L) , Причому ця відповідність, як кажуть, функторіально, тобто композиції безперервних відображень відповідає композиція гомоморфізмом груп гомологий (F g) * = f * g * , А тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм (I d) * = i d * .

Якщо комплекс складається з кінцевого числа симплекс, то група гомологий матиме кінцеве число утворюють.

У цьому випадку вона представляється у вигляді прямої суми кількох екземплярів групи цілих чисел \ Mathbb {Z} (Їх число, тобто ранг групи гомологий називається числом Бетті) і кінцевих циклічних груп \ Mathbb {Z} _ {a_0}, \ mathbb {Z} _ {a_1 },...~ \ mathbb {Z} _ {a_i },...~ \ mathbb {Z} _ {a_k} де кожне a i є дільником a i - 1 (Ці числа називаються коефіцієнтами кручення). Число Бетті і коефіцієнти кручення визначаються однозначно.

Спочатку А. Пуанкаре якраз їх і ввів для характеристики топологічних властивостей.

Е. Нетер показала важливість переходу до вивчення самих груп гомологий.


2. Сингулярні гомології

Сімпліціальние гомології були дані тільки для поліедрів, причому доказ їх інваріантності та функторіальності досить складно.

Сингулярні гомології запроваджуються так, що їх інваріантність і функторіальность відразу стають очевидними.

Нехай X - Будь- топологічний простір.

Сингулярний симплекс розмірності k - Це пара k, f) де Δ k - Це стандартний симплекс \ Langle a_0, a_1 ,...~ a_k \ rangle , А f - Його безперервне відображення в X ; f: \ Delta ^ k \ to X .

Групу сингулярних ланцюгів визначимо як безліч формальних лінійних комбінацій:

c k = Σ z ik, f i)
i

з цілими (зазвичай їх вважають також обмеженими) коефіцієнтами z i . При цьому для лінійного відображення s_ \ pi: \ Delta ^ k \ to \ Delta_k визначуваного перестановкою π точок (A_0, a_1 ,...~ a_k) вважають (\ Delta ^ k, f) = (-1) ^ \ pi (\ Delta ^ k, f \ circ s_ \ pi) .

Граничний оператор \ Partial визначається на сингулярному симплекс k, f) так:

\ Partial (\ Delta_k, f) = \ sum_i (-1) ^ i (\ Delta_ {k-1}, f_i),

де Δ k - 1 стандартний (K - 1) -Мірний симплекс, а f_i = f \ circ \ epsilon_i , Де \ Epsilon_i - Це його відображення на i -У грань стандартного симплекса \ Delta ^ k (\ langle a_0 ,...~ \ hat {a_i },...~ a_k \ rangle) .

Аналогічно сімпліціальним гомологиям доводиться що \ Partial \ partial = 0 .

Як і раніше вводяться поняття сингулярних циклів - таких ланцюгів c k , Що \ Partial {c_k} = 0 , І кордонів - ланцюгів c_k = \ partial {c_ {k +1}} для деякого c k + 1 .

Факторгруппамі групи циклів по групі кордонів H k = Z k / B k називається групою сингулярних гомологий.


2.1. Приклад

Знайдемо, наприклад, сингулярні гомології простору з однієї точки X = * .

Для кожної розмірності існує тільки одне-єдине відображення f ^ k: \ Delta ^ k \ to * .

Межа симплекса \ Partial_k (\ Delta ^ k, f ^ k) = \ sum (-1) ^ i (\ Delta ^ {k-1}, f ^ {k-1} _i) , Де всі f ^ {k-1} _i дорівнюють, так як відображають симплекс в одну точку (позначимо f k - 1 ).

Значить:

\ Partial (\ Delta ^ k, f ^ k) = 0 , Якщо k непарній (число членів у сумі парне, а знаки чергуються);
\ Partial (\ Delta ^ k, f ^ k) = (\ Delta ^ {k-1}, f ^ {k-1}) , Якщо k \ not = 0 і четно;
\ Partial (\ Delta ^ k, f ^ k) = 0 , Якщо k = 0 .

Звідси отримуємо для нульової розмірності: Z_0 = C_0 = \ mathbb {Z}; \ quad B_0 = 0; \ quad H_0 = \ mathbb {Z} .

Для непарної розмірності k = 2n-1: Z_k = C_k = \ mathbb {} Z; \ quad B_k = \ mathbb {} Z; \ quad H_k = 0 .

Для парної розмірності k = 2n \ not = 0: Z_k = 0; \ quad B_k = 0; \ quad H_k = 0 .

Тобто група гомологий дорівнює \ Mathbb {} Z для нульової розмірності і дорівнює нулю для всіх позитивних розмірностей.

Можна довести, що на безлічі поліедрів сингулярні гомології збігаються з раніше визначеними сімпліціальнимі.


2.2. Історія

Сингулярні гомології були введені Лефшецом.

3. Гомології з коефіцієнтами в довільних групах

Можна визначати гомології, дозволяючи коефіцієнтами при симплекса в ланцюгах бути елементами будь абелевих групи G . Групи гомологий (сімпліціальние, сингулярні і т. д.) простору X з коефіцієнтами в групі G позначаються H k (X; G) . Зазвичай застосовують групу дійсних чисел \ Mathbb {R} , Раціональних чисел \ Mathbb {Q} , Або циклічну групу відрахувань по модулю m - \ Mathbb {Z} _m , Причому зазвичай береться = m p - Просте число, тоді \ Mathbb {Z} _p є полем.


4. Когомологий

Крім ланцюгів можна ввести поняття коцепей - відображень векторного простору ланцюгів до групи G . Тобто, простір коцепей C ^ k (X) = \ operatorname {Hom} (C_k (X), G) .

Граничний оператор \ Delta ^ k: C ^ k \ to C ^ {k +1} визначається за формулою: k x) (c) = x (d k + 1 c) (Де x \ in C ^ k, \; c \ in C_ {k +1} ). Для такого граничного оператора також виконується

δ k + 1 δ k = 0 , А саме
k + 1 δ k (x)) (c) = δ k x (d k + 2 c) = x (d k + 1 d k + 2 c) = x (0) = 0 .

Тому аналогічно тому, що було сказано вище, можна ввести поняття коціклов Z k (X, G) = K e r δ k , Кограніц B ^ k (X, G) = \ operatorname {Im} \ delta ^ k {-1} і когомологий H k (X, G) = Z k (X, G) / B k (X, G) .

Поняття когомологий двояко поняття гомології.

Якщо G - кільце, то в групі когомологий * H (X, G) визначено природне множення (твір Колмогорова - Александера або \ Cup -Npоізведеніе), що перетворює цю групу в градуйованою кільце, зване кільце когомологий.

У випадку, коли X - диференціюється розмаїття, кільце когомологий ^ * H (X, \ mathbb {R}) може бути обчислено за допомогою диференціальних форм на X (Див. Теорема де Рама).

Поняття когомологий було введено Александером і Колмогоровим.


5. Відносні гомології і точна гомологічних послідовність

Візьмемо випадок двох топологічних просторів Y \ sub X . Група ланцюгів C_k (Y) \ sub C_k (X) (Ланцюги можуть бути як з цілочисельними коефіцієнтами, так і з коефіцієнтами в кожній групі G ). Відносними ланцюгами будуть називатися елементи факторгруппамі C k (X, Y) = C k (X) / C k (Y) . Так як граничний оператор d на групі гомологий підпростору Y переводить d_k \ colon C_k (Y) \ to C_ {k}-1 (Y) , То можна визначити на факторгруппамі C k (X, Y) граничний оператор (ми його позначимо так само) d_k \ colon C_k (X, Y) \ to C_ {k-1} (X, Y) .

Ті відносні ланцюги, які він переводить у 0 будуть називатися відносними циклами Z k (X, Y) , А ланцюги, які є його значеннями - відносними кордонами B k (X, Y) . Так як d d = 0 на абсолютних ланцюгах, то це ж буде вірно для відносних, звідси B_k (X, Y) \ sub Z_k (X, Y) . Факторгруппамі H k (X, Y) = Z k (X, Y) / B k (X, Y) називається групою відносних гомологий.

Так як кожен абсолютний цикл в H k (X) є також і відносним то маємо гомоморфізм j_k: H_k (X) \ to H_k (X, Y) За функторіальному властивості вкладення i_k: Y \ to X приводить до гомоморфізму i_ *: H_k (Y) \ to H_k (X) .

У свою чергу можна побудувати гомоморфізм d_ {* k}: H_k (X, Y) \ to H_ {k-1} (Y) , Який ми визначимо наступним чином. Нехай c_k \ in C_k (X, Y) - Відносна ланцюг, який визначає цикл з H k (X, Y) . Розглянемо її як абсолютну ланцюг в C k (X) (З точністю до елементів C k (Y) ). Так як це відносний цикл, то d k c дорівнюватиме нулю з точністю до деякої ланцюга c_ {k-1} \ in C_ {k-1} (Y) . Покладемо d * k рівним класу гомологий ланцюга c_ {k-1} = d_k c \ in Z_ {k-1} (Y) .

Якщо ми візьмемо іншу абсолютну ланцюг c'_k \ in C_k (X) , Що визначає ту ж відносний цикл, то ми будемо мати c = c '+ u , Де u \ in C_k (Y) . Маємо d k c = d k c '+ d k u , Але так як d k u є кордоном в Z k - 1 (Y) то d k c і d k c ' визначають один і той же елемент в групі гомологий H k - 1 (Y) . Якщо взяти інший відносний цикл c'' , Що дає той же елемент в групі відносних гомологий c = c''+ b , Де b - Відносна межа, то внаслідок того, що b межа для відносних гомологий b = d k + 1 x + v , Де v \ in C_k (Y) , Звідси d k c = d k c''+ d k d k + 1 x + d k v , Але d d = 0 , А d k v - Кордон в Z k - 1 (Y) .

Тому клас гомологий d * k c k визначено однозначно. Ясно з лінійності оператора d * k , Що він є гомоморфізмом. Отже ми маємо гомоморфізм:

i_ {* k} \ colon H_k (Y) \ to H_k (X) ;
j_ {* k} \ colon H_k (X) \ to H_k (X, Y) і
d_ {* k} \ colon H_k (X, Y) \ to H_ {k-1} (Y) ;
... \ To H_k (Y) \ to H_k (X) \ to H_k (X, Y) \ to H_ {k-1} (Y) \ to ...

Можна довести, що ця послідовність точна, тобто образ якого гомоморфізму дорівнює ядру такого гомоморфізму.


6. Аксіоми Стінрода - Ейленберга

Крім уже відомих нам сімпліціальних і сингулярних гомологий існують ще інші теорії гомологий і когомологий, наприклад клітинні гомології, когомологий Чеха, когомологий де Рама і т. д. Стінрод і Ейленберг визначили систему аксіом теорії (ко) гомологий. Спочатку вони визначають т. н. допустимий клас пар D топологічних просторів, що задовольняє наступним властивостям:

  1. Якщо (X, Y) \ in D, то (X, X) \ in D,(X, \ varnothing) \ in D,(Y, Y) \ in D і (Y, \ varnothing) \ in D.
  2. Якщо (X, Y) \ in D, , То і (X \ times I, Y \ times I) \ in D, де I - Замкнутий інтервал [0,1].
  3. (*, \ Varnothing) \ in D, де * - Одноточкові простір.

У теорії гомологий за Стінроду - Ейленбергу кожної допустимої парі і будь цілому числу k відповідає абелева група H k (X, Y) і безперервному відображенню пар f \ colon (X, Y) \ to (X ', Y') відповідає гомоморфізм f_ {* k} \ colon H_k (X, Y) \ to H_k (X ', Y') (Простір X ототожнюється з парою (X, \ varnothing) ), А H k (X) з H_k (X, \ varnothing) ), Причому виконуються наступні аксіоми:

  1. Тотожному відображенню пари i d відповідає тотожний гомоморфізм i d * k.
  2. (G f) * k = g * k f * k (Функторіальность)
  3. Визначено граничний гомоморфізм d_ {* k} \ colon H_k (X, Y) \ to H_ {k-1} (Y), причому якщо f \ colon (X, Y) \ to (X ', Y'), то для відповідного гомоморфізму f_ {* k} \ colon H_k (X, Y) \ to H_k (X ', Y') вірно d * k f * k = f * k - 1 d * k для будь-якої розмірності k.
  4. Нехай i \ colon Y \ to X і j \ colon X \ to (X, Y) - Вкладення, i_ {* k} \ colon H_k (Y) \ to H_k (X) і j_ {* k} \ colon H_k (X) \ to H_k (X, Y) - Відповідні гомоморфізм, d_ {* k} \ colon H_k (X, Y) \ to H_ {k-1} (Y) - Граничний гомоморфізм. Тоді обумовлена ​​ними послідовність
    \ Ldots \ to H_k (Y) \ to H_k (X) \ to H_k (X, Y) \ to H_ {k-1} (Y) \ to \ ldots
    точна (аксіома точності).
  5. Якщо відображення f, g \ colon (X, Y) \ to (X ', Y')гомотопних, то відповідні гомоморфізм рівні f * k = g * k для будь-якої розмірності k (Аксіома гомотопічних інваріантності).
  6. Нехай U \ sub X - Відкрите підмножина X , Причому його замикання міститься у нутрощі безлічі Y, тоді якщо пари (X \ setminus U, Y \ setminus U) і (X, Y) належать допустимому класу, то для будь-якої розмірності k вкладенню (X \ setminus U, Y \ setminus U) \ hookrightarrow (X, Y) відповідає ізоморфізм H_k (X \ setminus U, Y \ setminus U) \ simeq H_k (X, Y) (Аксіома вирізання).
  7. Для одноточечного простору H k (*) = 0 для всіх розмірностей k \ geqslant 0 . Абелева група G = H 0 (*) називається групою коефіцієнтів (аксіома розмірності).

Для сингулярних гомологий допустимий клас пар складається з усіх пар топологічних просторів. Раніше певні групи сингулярних гомологий із коефіцієнтами в групі G їх відображення та граничний гомоморфізм d * задовольняють всім цим аксіомам. Якщо в якості допустимого класу взяти клас поліедрів, то можна довести, що гомології, визначені за допомогою даної системи аксіом, збігаються з сімпліціальнимі.

Аналогічно можна запровадити систему аксіом для когомологий, що повністю аналогічна.

Необхідно тільки мати на увазі, що відображенню f \ colon (X, Y) \ to (X ', Y') відповідає f ^ {* k} \ colon H ^ k (X ', Y') \ to H ^ k (X, Y) (Контраваріантность) і що когранічний гомоморфізм \ Delta ^ {* k} \ colon H ^ {k-1} (Y) \ to H ^ k (X, Y) збільшує розмірність.


7. Екстраординарні гомології

У системі аксіом Стінрода - Ейленберга аксіома розмірності виявляється не настільки важлива, як інші.

Теорії (ко) гомологий, які можуть мати ненульові групи (ко) гомологий одноточечного простору для розмірностей k> 0, називаються екстраординарними або узагальненими. Найбільш важливими екстраординарними теоріями є K-теорія Атьі (треба відзначити важливий внесок у цю теорію Хирцебрух, Ботта і Адамса) і теорія бордізмов Р. Тома.


Література

  • Вік Дж. У. Теорія гомологий. Введення в алгебраїчну топологію. - М .: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекції з алгебраїчної топології. - М .: Світ, 1976
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: Методи теорії гомологий. - М .: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топологія. - К.: РГД, 2001
  • Лефшец С. Алгебраїчна топологія. - М .: ІЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топологія. - 2 изд. испр. і доп. - К.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002
  • Прасолов В. В. Елементи теорії гомологий. - М .: МЦНМО, 2006
  • Світцер Р. М. Алгебраїчна топологія. - Гомотопий і гомології. - М .: Наука, 1985
  • Спеньер Е. Алгебраїчна топологія. - М .: Світ, 1971
  • Стінрод Н., Ейленберг С. Підстави алгебраїчної топології. - М .: Фізматгіз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопічних топології. - М .: Наука, 1989

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Гомологія
Гомологія (біологія)
Гомологія (проективна геометрія)
Топологія
Зовнішність (топологія)
Обчислювальна топологія
Атлас (топологія)
Топологія Зарисского
Індукована топологія
© Усі права захищені
написати до нас