Гравітаційна енергія

Гравітаційна енергія - потенційна енергія системи тіл (частинок), обумовлена їх взаємним тяжінням.

Гравітаційно-пов'язана система - система, в якій гравітаційна енергія більше суми всіх інших видів енергій (крім енергії спокою).

Загальноприйнята шкала, згідно з якою для будь-якої системи тіл, що знаходяться на кінцевих відстанях, гравітаційна енергія негативна, а для нескінченно віддалених, тобто для гравітаційно не взаємодіючих тіл, гравітаційну енергія дорівнює нулю. Повна енергія системи, яка дорівнює сумі гравітаційної та кінетичної енергії постійна, для ізольованої системи гравітаційна енергія є енергією зв'язку. Системи з позитивною повною енергією не можуть бути стаціонарними.

В класичної механіки

Для двох тяжіють точкових тіл з масами M та m гравітаційна енергія U_g дорівнює:

$\ U_g = - G {M m \ over R}$ ,

де:

$\ G$ - Гравітаційна стала;

$\ R$ - Відстань між центрами мас тел.

Цей результат виходить з закону тяжіння Ньютона, за умови, що для нескінченно віддалених тел гравітаційна енергія дорівнює 0. Вираз для гравітаційної сили має вигляд

$F_g = G {M m \ over R ^ 2}$

де:

- Сила гравітаційної взаємодії

З іншого боку згідно з визначенням потенційної енергії:

$F_g = \ frac {dU_g} {dR}$

Тоді:

$U_g = const - G {M m \ over R}$ ,

Константа в цьому виразі може бути обрана довільно. Її зазвичай вибирають рівною нулю, щоб при r, які прагнуть до нескінченності, U_g прагнуло до нуля.

Цей же результат вірний для малого тіла, що знаходиться поблизу поверхні великого. В цьому випадку R можна вважати рівним h + R_M , Де R_M - Радіус тіла масою M, а h - відстань від центру ваги тіла масою m до поверхні тіла масою M.

На поверхні тіла M маємо:

$U_g = - G {M m \ over R_M}$ ,

Якщо розміри тіла багато більше розмірів тіла , То формулу гравітаційної енергії можна переписати в наступному вигляді:

$U_g = - G {M m \ over R_M + h} = - m G \ frac {M} {R_M} \ frac {1} {1 + h / R_M} \ approx - mG \ frac {M} {R_M} \ left (1 - \ frac {h} {R_M} \ right) = mgh - m \ frac {GM} {R_M}$ ,

де величину $g = \ frac {GM} {R ^ 2_M}$ називають прискоренням вільного падіння. При цьому член $m \ frac {GM} {R_M}$ не залежить від висоти підняття тіла над поверхнею і може бути виключений з виразу шляхом вибору відповідної константи. Таким чином для малого тіла, що знаходиться на поверхні великого тіла справедлива наступна формула

Зокрема, ця формула застосовується для обчислення потенційної енергії тіл, що знаходяться поблизу поверхні Землі.

В ОТО

В загальної теорії відносності разом з класичним негативним компонентом гравітаційної енергії зв'язку з'являється позитивна компонента, обумовлена гравітаційним випромінюванням, тобто повна енергія гравитирующих системи убуває в часі за рахунок такого випромінювання.