Група Галуа - алгебраїчна група, асоційована з розширенням поля. Відіграє важливу роль при дослідженні розширень полів, зокрема, в теорії Галуа. Це поняття ввів у математику Еваріст Галуа в 1832 році.
1. Визначення
Нехай поле K є нормальним розширенням поля P. Взаємно однозначне відображення S поля K на себе називається автоморфізмом, якщо воно суму переводить в суму, а добуток - в твір, тобто якщо для будь-яких елементів ,
поля K справедливі рівності:
;
.
Групою Галуа для даного розширення поля називається сукупність всіх автоморфізмів поля K, що зберігають елементи поля P: . Позначення: G (K, P) або Gal (K, P).
2. Властивості
- Група Галуа завжди конечна. Її порядок (число елементів) дорівнює ступеню розширення K: P.
3. Приклади
- Якщо розширене поле збігається з вихідним, то група Галуа містить тільки один елемент: одиницю (тотожний автоморфизм).
- Для розширення поля дійсних чисел до поля всіх комплексних чисел група Галуа містить 2 елемента: одиницю і операцію сполучення.
- Поле розширення
складається з чисел виду
, Де a, b - раціональні числа. Група Галуа тут містить 2 елемента: одиницю й операцію, міняє знак у 2-го доданка з
.
4. Застосування
4.1. Розширення полів
Розглянемо ланцюжок послідовних розширень полів: Побудуємо групу Галуа для полів, крайніх в ланцюжку:
Тоді має місце відповідність Галуа: кожному проміжному полю
в ланцюжку розширень взаємно-однозначно відповідає підгрупа
групи G, яка є групою Галуа для розширення від
до
. Тобто ланцюжку розширень полів можна зіставити ланцюжок вкладених підгруп, яка звужується від G до тривіальної підгрупи (що складається тільки з одиниці). При цьому підгрупи, відповідні нормальним полям, є нормальними дільниками G, і назад.
Це відповідність дозволяє формулювати і досліджувати кінцеві розширення полів на мові теорії груп. Наприклад, з нього одразу випливає, що число проміжних полів для заданого нормального розширення завжди звичайно (як число підгруп в кінцевій групі).
4.2. Алгебраїчні рівняння
Основним полем алгебраїчного рівняння називається сукупність чисел, які можна отримати з коефіцієнтів рівняння з допомогою кінцевого числа операцій складання, віднімання, множення і ділення. Полем розкладання називається сукупність чисел, які можна отримати за допомогою кінцевого числа тих же операцій, виходячи з рішень рівняння. Основне поле в загальному випадку становить лише підполе поля розкладання.
Прийнято групу Галуа, утворену автоморфізмів поля розкладання, називати групою Галуа цього рівняння. Будь автоморфизм з групи Галуа G (K, P) переводить кожен корінь довільного многочлена над полем P знову в корінь цього ж многочлена. Таким чином, групу Галуа будь-якого алгебраїчного рівняння, що не має кратних коренів, можна розглядати як групу підстановок (саме так розглядав її сам Еваріст Галуа).
Література
- Артін Е. Теорія Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.
- Постніков М. М. Теорія Галуа. М.: Наука, 1963, 517.1 П 63, 220 с.;