Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Гільбертів простір



План:


Введення

Гільбертів простір - узагальнення евклідова простору, що допускає нескінченну розмірність. Названо на честь Давида Гільберта.


1. Визначення

Гільбертів простір є банаховому просторі, норма якого породжена позитивно певним скалярним добутком.

2. Пов'язані визначення

  • Найменша з потужностей підмножин гильбертова простору H , Для яких замикання лінійної оболонки збігається з H , Називається розмірністю простору H .

3. Властивості

  • Характеристичним властивістю, виділяє гильбертова простору H серед інших банахових просторів, є тотожність паралелограма:
    (\ Forall x, y \ in H) \ quad \ | x + y \ | ^ 2 + \ | xy \ | ^ 2 = 2 (\ | x \ | ^ 2 + \ | y \ | ^ 2).
    • Якщо задовольняє тотожність паралелограма банаховому просторі є речовим, то відповідає його нормі скалярний твір задається рівністю
      (X, y) = \ left \ | \ dfrac {x + y} {2} \ right \ | ^ 2 - \ left \ | \ dfrac {xy} {2} \ right \ | ^ 2.
    • Аналогічно, якщо цей простір є комплексним, то відповідає його нормі скалярний твір задається рівністю
      (X, y) = \ left \ | \ dfrac {x + y} {2} \ right \ | ^ 2 - \ left \ | \ dfrac {xy} {2} \ right \ | ^ 2 + i \ left \ | \ dfrac {x + iy} {2} \ right \ | ^ 2-i \ left \ | \ dfrac {x-iy} {2} \ right \ | ^ 2 (Поляризаційна тотожність).
  • Будь-які два гільбертовому просторі, мають однакову розмірність, ізоморфні. Зокрема,
  • Теорема Рісса - Фішера : для будь ортонормованій системи векторів {\ Lbrace \ phi_i \ rbrace} _ {i = 1} ^ {\ infty} в гільбертовому просторі H і числової послідовності {\ Lbrace C_i \ rbrace} _ {i = 1} ^ {\ infty} , Такий що \ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} C_i ^ 2 <\ infty , В H існує такий елемент u , Що C_i = \ left (u, \ phi_i \ right) і {\ Left \ Vert u \ right \ Vert} ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} {\ left (u, \ phi_i \ right)} ^ 2 .
  • Теорема Рісса про загальний вигляді лінійного обмеженого функціоналу в гільбертовому просторі (теорема Рісса - Фреше): для будь-якого лінійного обмеженого функціоналу f на гільбертовому просторі H існує єдиний вектор y \ in H такий, що f (x) = (x, y) для будь-якого x \ in H . При цьому норма лінійного функціоналу f збігається з нормою вектора y :
    \ | F \ | = \ sup_ {\ | x \ | = 1} | f (x) | = \ sqrt {(y, y)} . Теорема також означає, що простір всіх лінійних обмежених функціоналів над H ізоморофно простору H .
  • Гільбертові простору породжують строго нормовані простору.

4. Приклади

визначено і кінцевий, притому функції, що відрізняються між собою на безлічі міру нуль - ототожнюються між собою (тобто, формально, L 2 [a, b] є відповідне безліч класів еквівалентності). Скалярний твір на цьому просторі задається рівністю
(F, g) = \ int \ limits_a ^ b \! F {g} \, dx .

Для просторів \ Ell ^ 2 і L 2 [a, b] над полем комплексних чисел, послідовностей комплексних чисел і комплекснозначних функцій, визначення скалярного твори відрізняється лише комплексної сопряженностью другий співмножник:

(X, y) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x_n \ overline {y} _n ;
(F, g) = \ int \ limits_a ^ b \! F \ overline {g} \, dx .

Література

  • Халмош П., Гільбертів простір в задачах, Переклад з англійської І. Д. Новикова та Т. В. Соколовської; під ред. Р. А. Мінлос. - М.: Видавництво "Світ", 1970. - 352 с.
  • Морен К., Методи гильбертова простору. - М.: Мир, 1965. - 570 c.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Простір
L p (простір)
Простір Фрідмана
Інформаційний простір
Ультраметріческое простір
Унітарна простір
Зв'язний простір
Простір Мінковського
Простір імен
© Усі права захищені
написати до нас