Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Двоїстість Пуанкаре



План:


Введення

В математиці, теорема подвійності Пуанкаре, названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре, є основним результатом про структуру груп гомології і когомологий різноманіття. Вона стверджує, що всі k-е групи когомологий n-мірного ориентируемого замкнутого різноманіття M ізоморфні (n - k)-м групам гомології M:

H ^ k (M) \ cong H_ {n-k} (M).

1. Історія

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доказу в 1893 році. Когомологий були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею подвійності він сформулював у термінах чисел Бетті : k-е і (n - k)-е числа Бетті замкнутого (компактного без кордону) ориентируемого n-мірного різноманіття дорівнюють:

b_k (M) = b_ {n-k} (M).

Пізніше Пуанкаре дав доказ цієї теореми в термінах двоїстих тріангуляції [1] [2].


2. Сучасна формулювання

Сучасна формулювання подвійності Пуанкаре включає поняття гомології і когомологий: якщо M - замкнуте ориентируемое n-мірне різноманіття, k - ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологий H k (M) в (n - k)-у групу гомології H n - k (M):

D: H ^ k (M) \ to H_ {n-k} (M) .

Цей ізоморфізм визначається фундаментальним класом різноманіття [M] :

D (\ alpha) = [M] \ frown \ alpha ,

де \ Alpha \ in H ^ k (M) - Коцікл, \ Frown позначає \ Frown -Множення гомологічних і когомологіческіх класів. Тут наведено гомології і когомологий з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних ориентируемого різноманіть когомологий в цій формулі необхідно замінити на когомологий з компактним носієм.

Для k <0 групи гомології і когомологий, за визначенням нульові, відповідно, згідно подвійності Пуанкаре, групи гомології і когомологий при k> n на n-мірному різноманітті є нульовими.


3. Білінійну спаровування

Нехай M замкнутий ориентируемое різноманіття, позначимо через \ Tau H_k (M)кручення групи H_k (M) , І fH_k (M) = H_k (M) / \ tau H_k (M) її вільну частину; всі групи гомології беруться з цілими коефіцієнтами. Існують Білінійні відображення :

fH_k (M) \ otimes fH_ {n-k} (M) \ to \ Bbb Z

і

\ Tau H_k (M) \ otimes \ tau H_ {nk-1} (M) \ to \ Bbb Q / \ Bbb Z.
(Тут \ Bbb Q / \ Bbb Z - Адитивна факторгруппамі групи раціональних чисел по цілим.)

Перша форма називається індексом перетину, друга - коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджених подвійність між вільними частинами груп H_k (M) і H_ {n-k} (M) , Коефіцієнт зчеплення - між кручениями груп H_k (M) і H_ {n-k-1} (M) .


Твердження про те, що ці Білінійні спаровування визначають подвійність, означає, що відображення

fH_k (M) \ to \ mathrm {Hom} _ {\ Bbb Z} (fH_ {nk} (M), \ Bbb Z)

і

\ Tau H_k (M) \ to \ mathrm {Hom} _ {\ Bbb Z} (\ tau H_ {nk-1} (M), \ Bbb Q / \ Bbb Z)

є ізоморфізм груп.

Цей результат є наслідком подвійності Пуанкаре H_k (M) \ simeq H ^ {n-k} (M) і теореми про універсальні коефіцієнтах, які дають рівності fH ^ {nk} (M) \ equiv \ mathrm {Hom} (H_ {nk} (M); \ mathbb Z) і \ Tau H ^ {nk} (M) \ equiv \ mathrm {Ext} (H_ {nk-1} (M); \ mathbb Z) \ equiv \ mathrm {Hom} (\ tau H_ {nk-1} (M ); \ mathbb Q / \ mathbb Z) . Таким чином, групи fH_k (M) \ simeq fH_ {n-k} (M) є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, \ Tau H_k (M) \ simeq \ tau H_ {n-k-1} (M) .


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Двоїстість Понтрягина
Двоїстість Колмогорова
Пуанкаре
Пуанкаре, Анрі
Сфера Пуанкаре
Премія Пуанкаре
Метрика Пуанкаре
Гіпотеза Пуанкаре
Відображення Пуанкаре
© Усі права захищені
написати до нас