Декартом лист

План:

1 Історія
2 Рівняння
3 Властивості
4 Дослідження кривої
5 Похідна

Введення

Декартом лист

Декартом лист - плоска крива третього порядку, що задовольняє рівнянню в прямокутній системі x ³ + y ³ = ³ a x y . Параметр 3 a визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшою хорді петлі.

1. Історія

"Квітка Жасмину"

Вперше рівняння кривої досліджував Р. Декарт в 1638 році, однак він побудував тільки петлю в першому координатному куті, де x і y приймають позитивні значення. Декарт вважав, що петля симетрично повторюється у всіх чотирьох координатних чвертях, у вигляді чотирьох пелюсток квітки. У той час ця крива називалася квіткою жасмину ( англ. jasmine flower , фр. fleur de jasmin ).

У сучасному вигляді цю криву вперше представив Х. Гюйгенс в 1692 році.

2. Рівняння

В прямокутній системі за визначенням:

$\ Textstyle x ^ 3 + y ^ 3 = 3axy$

В полярній системі :

$\ Rho = \ frac {3a \ cos \ varphi \ sin \ varphi} {\ cos ^ 3 \ varphi + \ sin ^ 3 \ varphi}$ .

Параметричне рівняння в прямокутній системі:

$\ Begin {cases} x = \ frac {3at} {1 + t ^ 3} \ \ y = \ frac {3at ^ 2} {1 + t ^ 3} \ end {cases}$ , Де $t = \ operatorname {tg} \ varphi$ .

Повернений Декартом лист

Часто розглядають повернену на $135 ^ \ circ$ криву. Її рівняння виглядають так:

У прямокутній системі:

$y = \ pm x \ sqrt {\ frac {l + x} {l-3x}}$ , Де $l = \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$

Параметричне:

$x = l \ frac {t ^ 2-1} {3t ^ 2 +1}, \ y = l \ frac {t (t ^ 2-1)} {3t ^ 2 +1}$

У полярних координатах:

$\ Rho = \ frac {l \ left (\ sin ^ 2 \ varphi-\ cos ^ 2 \ varphi \ right)} {\ cos \ varphi \ left (\ cos ^ 2 \ varphi + 3 \ sin ^ 2 \ varphi \ right )}$

Висновок рівнянь поверненою кривої

Систему координат XOY перетворять в систему координат UOV, яка виходить поворотом осей OX і OY за годинниковою стрілкою на кут $\ Alpha = \ frac {\ pi} {4}$ і переорієнтацією осі OX у протилежному напрямку:

$\ Begin {vmatrix} x \ \ y \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix}-u \ \ v \ end {vmatrix} \ begin {vmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \ \ \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {vmatrix} \, \!$

Вираз старих координат XY через нові UV виглядає так:

$\ Textstyle x = - u \ cos \ alpha - v \ sin \ alpha$

$\ Textstyle y = - u \ sin \ alpha + v \ cos \ alpha$ , Або

$\ Textstyle x = - \ frac {u} {\ sqrt {2}} - \ frac {v} {\ sqrt {2}}$

$\ Textstyle y = - \ frac {u} {\ sqrt {2}} + \ frac {v} {\ sqrt {2}}$ ,

Після підстановки виразів старих координат через нові рівняння декартова листа перетворюється до наступного вигляду:

$v ^ 2 = \ frac {u ^ 2} {3} \ frac {3a + u \ sqrt {2}} {a - u \ sqrt {2}}$ .

Вводимо параметр $l = \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$ , Останнє рівняння перепишеться так:

$v ^ 2 = u ^ 2 \ frac {l + u} {l - 3u}$

або

$v = \ pm u \ sqrt {\ frac {l + u} {l - 3u}}$ .

Замінюємо змінні u і v на звичні x і y і отримуємо рівняння декартового листа в новій системі координат:

$y = \ pm x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}}$

Підставивши в рівняння попереднє $x = \ rho \ cos \ varphi, \ y = \ rho \ sin \ varphi$ , Отримуємо рівняння декартова листа в полярній системі координат:

$\ Rho \ sin \ varphi = \ rho \ cos \ varphi \ sqrt {\ frac {t + \ rho \ cos \ varphi} {t - 3 \ rho \ cos \ varphi}}$ .

Вирішуючи цей вираз відносно ρ , Отримуємо:

$\ Rho = \ frac {l \ left (\ sin ^ 2 \ varphi-\ cos ^ 2 \ varphi \ right)} {\ cos \ varphi \ left (\ cos ^ 2 \ varphi + 3 \ sin ^ 2 \ varphi \ right )}$ .

3. Властивості

Пряма O A - Вісь симетрії, її рівняння: y = x .
Точка A називається вершиною, її координати $\ Left (\ frac {3a} {2}, \ frac {3a} {2} \ right)$ .

Для обох гілок існує асимптота U V , Її рівняння: x + y + a = 0 .

Виведення рівняння асимптоти

Для повернутого декатрового листа:

При y = 0 маємо

x = 0 або $\ Textstyle \ sqrt {\ frac {l + x} {l-3x}} = 0$ ,

Розглядаємо другий випадок: l + x = 0 , Тобто, x = - l , Тобто $\ Textstyle x =- \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$ , Значить $\ Textstyle OA = \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$ .

Рівняння асимптоти UV визначається з виразу:

l - 3 x = 0 , Отже, $\ Textstyle x = \ frac {l} {3} = \ frac {a} {\ sqrt {2}}$ .

Після повороту осей на $-135 ^ \ Circ$ отримуємо остаточне рівняння

x + y + a = 0

Площа області між дугами A C O і A B O $\ Textstyle S_1 = \ frac {l ^ 2} {3} = \ frac {3} {2} a ^ 2$

Знаходження площі S ₁

Площа S ₁ , Укладена між дугами ACO і ABO обчислюється так:

$\ Frac {1} {2} S_1 =- \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} \, dx$ , Де $l = \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$ .

Цей інтеграл обчислюється за допомогою підстановки:

$u = l - 3x, \ l + x = \ frac {4} {3} l-\ frac {1} {3} u, \ dx =- \ frac {1} {3} du$ .

Межі інтегрування:

$x =-l \ Rightarrow \; u = 4l, \ qquad x = 0 \ Rightarrow \; u = l$

Інтеграл перетвориться до виду:

$\ Frac {1} {2} S_1 = \ frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} \ left (l - u \ right) \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \, du$

або

$\ Frac {1} {2} S_1 = \ frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} l \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \ , du - \ frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} u \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \, du$

Перший інтеграл з цього рівняння:

$\ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} l \ sqrt {\ frac {4l - u} {u}} \, du$ .

Підстановка:

$u = v ^ 2, \ qquad du = 2vdv$ .

Межі інтегрування:

$u = 4l \ Rightarrow \; v = 2 \ sqrt {l}, \ qquad u = l \ Rightarrow \; v = \ sqrt {l}$ .

Інтеграл перетвориться до виду:

$\ Frac {2l} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {2 \ sqrt {l}} ^ {\ sqrt {l}} \ sqrt {\ left (2 \ sqrt {l} \ right) ^ 2 - v ^ 2} \, dv =$

$= \ Frac {2l} {\ sqrt {3}} \ left [\ frac {v} {2} \ sqrt {\ left (2 \ sqrt {t} \ right) ^ 2 - v ^ 2} + \ frac { \ left (2 \ sqrt {l} \ right) ^ 2} {2} \ arcsin \ left (\ frac {v} {2 \ sqrt {l}} \ right) \ right] \ Bigg | ^ \ sqrt {l } _ {2 \ sqrt {l}} = \ frac {l ^ 2} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ sqrt {3} - \ frac {4} {3} \ pi \ right]$ .

Другий інтеграл:

$- \ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {4l} ^ {l} \ sqrt {4tu ^ 2 - u ^ 2} \, du$

Підстановка:

$u = v + 2l, \ qquad du = dv$ .

Межі інтегрування:

$u = 4l \ Rightarrow \; v = 2t, \ qquad u = l \ Rightarrow \; v =-l$ .

Інтеграл перетвориться до виду:

$- \ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ int \ limits_ {2l} ^ {-l} \ sqrt {\ left (2l \ right) ^ 2 - v ^ 2} \, dv =$

$= - \ Frac {1} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ frac {v} {2} \ sqrt {\ left (2l \ right) ^ 2 - v ^ 2} + \ frac {\ left ( 2l \ right) ^ 2} {2} \ arcsin \ left (\ frac {v} {2l} \ right) \ right] \ Bigg | ^ {-l} _ {2l} = \ frac {l ^ 2} { 9 \ sqrt {3}} \ left [\ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {4} {3} \ pi \ right]$ .

Отже:

$\ Frac {1} {2} S_1 = \ frac {l ^ 2} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ sqrt {3} - \ frac {4} {3} \ pi \ right] + \ frac {l ^ 2} {9 \ sqrt {3}} \ left [\ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {4} {3} \ pi \ right]$ .

Площа S ₁ дорівнює

$S_1 = \ frac {l ^ 2} {3} = \ frac {3} {2} a ^ 2$ .

Площа області між асимптотой і кривою дорівнює площі петлі $\ Textstyle S_2 = S_1 = \ frac {3} {2} a ^ 2$ .

Знаходження площі S ₂

Площа S ₂ , Укладена між гілками кривої і асимптотой UV, обчислюється точно також, як і площа S ₁ ; Інтеграл береться в межах від 0 до $\ Textstyle \ frac {l} {3}$ .

$\ Frac {1} {2} S_2 = \ int \ limits_ {0} ^ {\ frac {l} {3}} x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} \, dx$

Цей інтеграл обчислюється також, як і в попередньому випадку.

$S_2 = \ frac {l ^ 2} {3} = \ frac {3} {2} a ^ 2$ , Тобто, площі S ₁ і S ₂ рівні між собою.

Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги A C O навколо осі абсцис $\ Textstyle V_1 = \ frac {\ pi l ^ 3} {27} \ left (\ ln {4} -1 \ right)$

Знаходження об'єму обертання

Об'єм ( V ₁ ) Тіла, утвореного при обертанні дуги A C O навколо осі абсцис, розраховується так:

$V_1 = \ pi \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x ^ 2 \ frac {l + x} {l - 3x} \, dx =$

$= - \ Frac {\ pi} {3} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x ^ 2 \, dx - \ frac {4 \ pi l} {9} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} x \, dx - \ frac {4 \ pi l ^ 2} {27} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} \, dx + \ frac {4 \ pi l ^ 3} {27} \ int \ limits_ {-l} ^ {0} \ frac {dx} {l - 3x} \, =$

$= \ Frac {\ pi l ^ 3} {27} \ left (\ ln {4} - 1 \ right)$ .

Отже:

$V_1 = \ frac {\ pi l ^ 3} {27} \ left (\ ln {4} - 1 \ right)$ .

Об'єм ( V ₂ ) Тіла, утвореного при обертанні однієї гілки навколо осі абсцис, прагне до нескінченності. Цей обсяг обчислюється з попереднього інтеграла в межах від 0 до $\ Frac {t} {3}$ . Цей інтеграл дорівнює нескінченності, тобто

$V_2 = \ infty$ .

4. Дослідження кривої

При y = 0 маємо x = 0 або $\ Sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} = 0$ , Або $l + x = 0 \ Rightarrow x = - l \ Rightarrow x = - \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$ , Тобто $OA = \ frac {3a} {\ sqrt {2}}$ .

Рівняння асимптоти UV визначається з виразу:

$l - 3x = 0 \ Rightarrow x = \ frac {l} {3} = \ frac {a} {\ sqrt {2}}$ .

5. Похідна

Щоб знайти максимальне значення функції та рівняння дотичній, обчислимо похідну функції:

$y '= \ left (x \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}} \ right)'$

$y '= \ frac {2lx} {\ left (l - 3x \ right) \ left (\ sqrt {l - 3x} \ sqrt {l + x} \ right)} + \ sqrt {\ frac {l + x} {l - 3x}}$ .

Прирівнюємо похідну y 'нулю і вирішуємо, отримане рівняння, щодо x. Отримаємо: $x = - \ frac {l} {\ sqrt {3}}$ . При цьому значенні x функція (2) має максимум на верхній дузі A C O - Точка C і мінімум на нижній дузі A B O - Точка B . Значення функції в цих точках дорівнює:

$y \ left (- \ frac {l} {\ sqrt {3}} \ right) = \ pm \ frac {l} {\ sqrt {3}} \ sqrt {\ frac {3 - \ sqrt {3}} { \ sqrt {3} + 1}}$ .

Значення похідної y 'в точці O одно $\ Pm 1$ , Тобто дотичні в точці O взаємно перпендикулярні і нахилені до осі абсцис під кутом $\ Pm \ frac {\ pi} {4}$ .

Література

Декартом лист / / Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона : В 86 томах (82 т. і 4 доп.) - СПб. , 1890-1907.

Криві
Визначення	Аналітична Жордана Канторової Урисона Овал Спрямлюваних
Перетворені	Еволюти Евольвенти Подер Антіподера Паралельна Дуальна Каустику
Неплоских	Гвинтова лінія Лінія укосу Локсодроми Ортодромія Губка
Плоскі алгебраїчні
Конічні перетини	Гіпербола Парабола Еліпс ( Окружність)
3-й порядок	Еліптичні : Еліптична крива Опції Якобі Інтеграл Опції Інші: Верзьера Аньєзі Декартом лист Кубика Полукубіческая парабола Строфоїди Ціссоіда Діокла
Лемніската	Бернуллі ( Овал Кассіні) Бута Жерона
Апроксимаційні	Сплайн ( B-сплайн Кубічний Моносплайн Ерміта) Безьє
Циклоїдальні	Кардіоїда Нефроіда Дельтоида Астроіда Равлик Паскаля
Плоскі трансцендентні
Спіралі	Архімедова ( Ферма) Гіперболічна "Жезл" Клотоїд Логарифмічна
Циклоїдальні	Циклоїда Епіціклоіда Гіпоціклоіда Трохоіда (Подовжена + Укорочена циклоїда) Епітрохоїді (Подовжена + Укорочена епіціклоіда ( "Роза") Гіпотрохоіда Швидкого спуску ( Брахістохрона, дуга циклоїди)
Інші	Квадратріси Погоні ( Трактріса) Трохоіда Ланцюгова лінія (перевернута арочна) Постійної ширини Синусоїда
Фрактальні
Прості	Коха Леві Минковского Пеано
Топологічні	Серветка + Килим Серпінського Губка Менгера