Дзета-функція Гурвіца

В математики Дзета-функція Гурвіца, названа на честь Адольфа Гурвіца, - це одна з численних дзета-функцій, які є узагальненнями дзета-функції Рімана. Формально вона може бути визначена статечним рядом для комплексних аргументів s, при Re (s)> 1, і q, Re (q)> 0:

\ Zeta (s, q) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {(q + n) ^ {s}}.

Цей ряд є абсолютно збіжним для заданих значень s і q. Дзета-функція Рімана - це окремий випадок дзета-функції Гурвіца при q = 1.


1. Аналітичне продовження

Дзета функція Гурвіца допускає аналітичне продовження до мероморфних функції, визначеної для всіх комплексних s, при s ≠ 1. У точці s = 1 вона має простий полюс з вирахуванням рівним 1. Постійний член розкладання в ряд Лорана в околиці точки s = 1 дорівнює:

\ Lim_ {s \ to 1} \ left [\ zeta (s, q) - \ frac {1} {s-1} \ right] = \ frac {- \ Gamma '(q)} {\ Gamma (q) } = - \ psi (q) ,

де Γ (x) - це гамма-функція, і ψ (x) - це дігамма-функція.


2. Представлення у вигляді рядів

Подання у вигляді сходящегося степеневого ряду для q> -1 і довільного комплексного s ≠ 1 було отримано в 1930 Гельмутом Гассе (англ.) [1]


\ Zeta (s, q) = \ frac {1} {s-1} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n +1} \ sum_ {k = 0} ^ n (-1 ) ^ k {n \ choose k} (q + k) ^ {1-s}.

Цей ряд рівномірно сходиться на будь-якому компактному підмножині комплексної s-площині до цілої функції. Внутрішня сума може бути представлена ​​у вигляді n-ой кінцевої різниці для q ^ {1-s} , Тобто:

\ Delta ^ nq ^ {1-s} = \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {nk} {n \ choose k} (q + k) ^ {1-s}

де Δ - оператор кінцевої різниці. Таким чином

\ Zeta (s, q) = \ frac {1} {s-1} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n} {n +1} \ Delta ^ nq ^ {1 -s}
= \ Frac {1} {s-1} {\ log (1 + \ Delta) \ over \ Delta} q ^ {1-s}.

3. Інтегральні представлення

Дзета-функція Гурвіца має інтегральне представлення у вигляді перетворення Мелліна :


\ Zeta (s, q) = \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_0 ^ \ infty \ frac {t ^ {s-1} e ^ {-qt}} {1-e ^ {-t }} dt

для Re (s)> 1 і Re (q)> 0.

4. Формула Гурвіца

\ Zeta (1-s, x) = \ frac {1} {2s} \ left [e ^ {-i \ pi s / 2} \ beta (x; s) + e ^ {i \ pi s / 2} \ beta (1-x; s) \ right] ,

де

\ Beta (x; s) = 2 \ Gamma (s +1) \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ exp (2 \ pi inx)} {(2 \ pi n) ^ s} = \ frac {2 \ Gamma (s +1)} {(2 \ pi) ^ s} \ mbox {Li} _s (e ^ {2 \ pi ix}) .

Це уявлення дзета-функції Гурвіца вірно для 0 ≤ x ≤ 1 і s> 1. Тут \ Text {Li} _s (z) - Це полілогаріфм.

5. Функціональне рівняння

Дане функціональне рівняння пов'язує значення дзета-функції Гурвіцa ліворуч і праворуч від прямої Re (s) = 1/2 в комплексній s-площині. Для натуральних m і n, таких що m ≤ n:

\ Zeta \ left (1-s, \ frac {m} {n} \ right) = \ frac {2 \ Gamma (s)} {(2 \ pi n) ^ s} \ sum_ {k = 1} ^ n \ left [cos \ left (\ frac {\ pi s} {2} - \ frac {2 \ pi km} {n} \ right) \; \ zeta \ left (s, \ frac {k} {n} \ right) \ right]

вірно для всіх значень s.

6. Ряд Тейлора

Похідна дзета-функції Гурвіца по другому аргументу також виражається через дзета-функцію Гурвіца:

\ Frac {\ partial} {\ partial q} \ zeta (s, q) =-s \ zeta (s +1, q).

Таким чином ряд Тейлора має вигляд:

\ Zeta (s, x + y) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {y ^ k} {k!} \ Frac {\ partial ^ k} {\ partial x ^ k} \ zeta (s , x) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {s + k-1 \ choose s-1} (-y) ^ k \ zeta (s + k, x).

7. Ряд Лорана

Розкладання дзета-функції Гурвіца в ряд Лорана може бути використане для визначення констант Стільтьеса (англ.), які з'являються в розкладанні:

\ Zeta (s, q) = \ frac {1} {s-1} + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n} {n!} \ Gamma_n (q) \; (s-1) ^ n.

8. Перетворення Фур'є

Дискретне перетворення Фур'є по змінній s дзета-функції Гурвіца є хі-функцією Лежандра [2]

9. Зв'язок з многочленами Бернуллі

Певна вище функція ~ \ Beta (x; n) узагальнює многочлени Бернуллі :

B_n (x) =-Re \ left [(-i) ^ n \ beta (x; n) \ right] .

З іншого боку,

\ Zeta (-n, x) = - {B_ {n +1} (x) \ over n +1}.

Зокрема, при n = 0 :

\ Zeta (0, x) = \ frac {1} {2}-x.

10. Зв'язок з тета-функцією Якобі

Якщо ~ \ Vartheta (z, \ tau) - Це тета-функція Якобі (англ.), тоді

\ Int_0 ^ \ infty \ left [\ vartheta (z, it) -1 \ right] t ^ {s / 2} \ frac {dt} {t} = \ pi ^ {- (1-s) / 2} \ Gamma \ left (\ frac {1-s} {2} \ right) \ left [\ zeta (1-s, z) + \ zeta (1-s ,1-z) \ right] .

Ця формула вірна для Re (s)> 0 і будь-якого комплексного z, який не є цілим числом. Для цілого z = n формула спрощується:

\ Int_0 ^ \ infty \ left [\ vartheta (n, it) -1 \ right] t ^ {s / 2} \ frac {dt} {t} = 2 \ \ pi ^ {- (1-s) / 2 } \ \ Gamma \ left (\ frac {1-s} {2} \ right) \ zeta (1-s) = 2 \ \ pi ^ {-s / 2} \ \ Gamma \ left (\ frac {s} {2} \ right) \ zeta (s) .

де ζ (s) - дзета-функція Рімана. Останній вираз є функціональним рівнянням для дзета-функція Рімана.


11. Зв'язок з L-функцією Діріхле

При раціональних значеннях аргументу дзета-функція Гурвіца може бути представлена ​​у вигляді лінійної комбінації L-функцій Дирихле і навпаки. Якщо q = n / k при k> 2, (n, k)> 1 і 0 тоді

\ Zeta (s, n / k) = \ sum_ \ chi \ overline {\ chi} (n) L (s, \ chi),

при цьому підсумовування ведеться по всіх характерам Діріхле по модулю k. І назад

L (s, \ chi) = \ frac {1} {k ^ s} \ sum_ {n = 1} ^ k \ chi (n) \; \ zeta \ left (s, \ frac {n} {k} \ right).

зокрема вірно наступне уявлення:

k ^ s \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ k \ zeta \ left (s, \ frac {n} {k} \ right),

узагальнююче

\ Sum_ {p = 0} ^ {q-1} \ zeta (s, a + p / q) = q ^ s \, \ zeta (s, qa). (Вірно при натуральному q і ненатурально 1 - qa.)

12. Раціональні значення аргументів

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних цікавих співвідношеннях для раціональних значень аргументів. [2] Зокрема, для многочленів Ейлера ~ E_n (x) :

E_ {2n-1} \ left (\ frac {p} {q} \ right) = (-1) ^ n \ frac {4 (2n-1)!} {(2 \ pi q) ^ {2n}} \ sum_ {k = 1} ^ q \ zeta \ left (2n, \ frac {2k-1} {2q} \ right) \ cos \ frac {(2k-1) \ pi p} {q}

і

E_ {2n} \ left (\ frac {p} {q} \ right) = (-1) ^ n \ frac {4 (2n)!} {(2 \ pi q) ^ {2n +1}} \ sum_ {k = 1} ^ q \ zeta \ left (2n +1, \ frac {2k-1} {2q} \ right) \ sin \ frac {(2k-1) \ pi p} {q} ,

Крім того

\ Zeta \ left (s, \ frac {2p-1} {2q} \ right) = 2 (2q) ^ {s-1} \ sum_ {k = 1} ^ q \ left [C_s \ left (\ frac { k} {q} \ right) \ cos \ left (\ frac {(2p-1) \ pi k} {q} \ right) + S_s \ left (\ frac {k} {q} \ right) \ sin \ left (\ frac {(2p-1) \ pi k} {q} \ right) \ right] ,

вірне для 1 \ le p \ le q . Тут ~ C_ \ nu (x) і ~ S_ \ nu (x) виражаються через хі-функціію Лежандра ~ \ Chi_ \ nu як

C_ \ nu (x) = \ operatorname {Re} \, \ chi_ \ nu (e ^ {ix})

і

S_ \ nu (x) = \ operatorname {Im} \, \ chi_ \ nu (e ^ {ix}).

13. Додатки

Дзета-функція Гурвіца виникає в різних розділах математики. Найчастіше зустрічається в теорії чисел, де її теорія є найбільш розвиненою. Також дзета-функція Гурвіца зустрічається в теорії фракталів і динамічних систем. Дзета-функція Гурвіца застосовується в математичній статистиці, виникає в законі Ципфа. В фізиці елементарних частинок виникає у формулі Швінгера [3], що дає точний результат для показника народження пар в рівнянні Дірака для стаціонарного електромагнітного поля.


14. Окремі випадки і узагальнення

Дзета-функція Гурвіца пов'язується з полігамма-функцією :

\ Psi ^ {(m)} (z) = (-1) ^ {m +1} m! \ Zeta (m +1, z). \,

Дзета-функція Лерхе узагальнює дзета-функцію Гурвіца:

\ Phi (z, s, q) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ k} {(k + q) ^ s}

тобто

\ Zeta (s, q) = \ Phi (1, s, q). \,

Примітки

  1. Helmut Hasse Ein Summierungsverfahren fr die Riemannsche ζ-Reihe (Нім.) / / Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Т. 32. - № 1. - DOI : 10.1007/BF01194645 - dx.doi.org/10.1007/BF01194645
  2. 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski Values ​​Of The Legendre Chi AND Hurwitz Zeta FUNCTIONS AT Rational Arguments - www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01091-1/S0025-5718-99- 01091-1.pdf (Англ.) / / Math. Comp.. - 1999. - № 68. - С. 1623-1630.
  3. J. Schwinger On gauge invariance and vacuum polarization / / Physical Review. - 1951. - Т. 82. - № 5. - С. 664-679. - DOI : 10.1103/PhysRev.82.664 - dx.doi.org/10.1103/PhysRev.82.664

Література