Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Диференціальна форма



План:


Введення

Диференціальна форма порядку k або k -Форма - кососімметріческое тензорне поле типу (K, 0) на дотичному розшаруванні різноманіття.

Диференціальні форми були введені Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм виявляється зручний у багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, сімплектіческой геометрії, квантової теорії поля.

Простір k -Форм на різноманітті M зазвичай позначають Ω k (M) .


1. Визначення

1.1. Інваріантне

У диференціальної геометрії, диференціальна форма ступеня k - Це гладке перетин k -Ой зовнішньої ступеня кокасательного розшарування різноманіття.

1.2. Через локальні карти

k -Формою на \ Mathbb {R} ^ n будемо називати вираз такого вигляду

\ Omega = \ sum_ {1 \ leqslant i_1 <i_2 <\ ldots <i_k \ leqslant n} f_ {i_1i_2 \ ldots i_k} (x ^ 1, \ ldots, x ^ n) \, dx ^ {i_1} \ wedge dx ^ {i_2} \ wedge \ ldots \ wedge dx ^ {i_k}

де f_ {i_1i_2 \ ldots i_k} - Гладкі функції, d x i - диференціал i -Ой координати x i (Функція від вектора, що повертає його координату з номером i ), А \ Wedge - зовнішнє твір. При зміні координат це подання змінює форму.

На гладкому різноманітті, k-форми можуть бути визначені як форми на картах, які узгоджені на склеювання (для точного визначення узгодженості см. різноманіття).


2. Пов'язані визначення

  • Для k -Форми ω k , Її зовнішній диференціал це (K + 1) -Форма
  • d \ omega ^ k = \ sum_ {1 \ leqslant i_1 <i_2 <\ ldots <i_k \ leqslant n} \ sum_ {1 \ leqslant j \ leqslant n} \ frac {\ partial f_ {i_1i_2 \ ldots i_k}} {\ partial x ^ j} (x ^ 1, \; \ dots, \; x ^ n) \, dx ^ j \ wedge dx ^ {i_1} \ wedge dx ^ {i_2} \ wedge \ ldots \ wedge dx ^ {i_k }
  • Диференціальна форма називається замкнутою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
  • k-форма називається точною, якщо її можна представити як диференціал деякої (k -1)-форми.
  • Факторгруппамі H ^ k_ {dR} = \ bar \ Omega_ {k} / d \ Omega_ {k-1} замкнутих k-форм з точних k-формам називається k -Мірної групою когомологий де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірної групі сингулярних когомологий.
  • Внутрішньої похідної форми ω по векторному полю \ Mathbf {v} називається форма
i_ \ mathbf {v} \ omega (u_1, \ dots, u_n) = \ omega (\ mathbf {v}, u_1, \ dots, u_n)

3. Властивості

  • У локальних координатах, диференціальна форма може бути записана як
    \ Omega = \ sum_ {1 \ leqslant i_1 <i_2 <\ ldots <i_k \ leqslant n} f_ {i_1i_2 \ ldots i_k} (x ^ 1, \; \ ldots, \; x ^ n) \, dx ^ {i_1 } \ wedge dx ^ {i_2} \ wedge \ ldots \ wedge dx ^ {i_k}
де d x i - диференціал i -Ой координати x j , А \ Wedge - зовнішнє твір.
  • Для диференціалів диференціальних форм ω F векторного поля F справедливо:
d (d ω F) = 0
d (\ omega_F ^ 0) = \ omega_ {\ nabla F} ^ 1
d (\ omega_F ^ 1) = \ omega_ {rot F} ^ 2
d (\ omega_F ^ 2) = \ omega_ {div F} ^ 3
d (\ omega_F ^ 3) = \ omega_ {L2 F} ^ 4
  • Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінейних кососімметріческіх функцій від k векторів.
  • Зовнішнє диференціювання лінійно і задовольняє градуйованому правилом Лейбніца :
    \ D (\ omega ^ k \ wedge \ omega ^ p) = (d \ omega ^ k) \ wedge \ omega ^ p + (-1) ^ {k} \ omega ^ k \ wedge (d \ omega ^ p)
  • Для будь-якої форми справедливо d (d ω) = 0 .
  • теорема Стокса - є основою для більшості застосувань диференціальних форм.
  • Внутрішнє диференціювання лінійно і задовольняє градуйованому правилом Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопий :
    d i_ \ mathbf {v} + i_ \ mathbf {v} d = L_ \ mathbf {v}

4. Приклади

  • З точки зору тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторное поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці p різноманіття M і відображає елементи дотичного простору T p (M) в безліч дійсних чисел \ R :
    \ Omega (p): T_p (M) \ rightarrow \ R
  • Форма обсягу - приклад n -Форми на n -Мірному різноманітті.
  • Сімплектіческая форма - замкнута 2-форма ω на 2 n -Різноманітті, така що \ Omega ^ n \ not = 0 .

5. Застосування

5.1. Векторний аналіз

Через диференціальні форми можливо представити основні оператори у векторному аналізі Нехай I - канонічний ізоморфізм між дотичним і кокасательним просторами, і σ - Канонічний ізоморфізм між 2-формами і векторними полями на M . Завдяки цьому можна визначити диференціальні операції з векторними полями на M . Тоді ротор і дивергенцію для полів на \ R ^ 3 можна представити як

\ Operatorname {rot} \, v = \ sigma \ circ d \ circ I (v)
\ Operatorname {div} \, v = \ sigma \ circ d \ circ \ sigma (v)

5.2. Диференціальні форми в електродинаміці

Максвеллівською електродинаміка дуже витончено формулюється мовою диференціальних форм. Розглянемо 2-форму Фарадея, відповідну тензора електромагнітного поля :

\ Textbf {F} = \ frac {1} {2} F_ {ab} \, {\ mathrm d} x ^ a \ wedge {\ mathrm d} x ^ b.

Ця форма є формою кривизни тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого можуть бути описані класична електродинаміка та калібрувальна теорія. 3-форма струму має вигляд

\ Textbf {J} = J ^ a \ varepsilon_ {abcd} \, {\ mathrm d} x ^ b \ wedge {\ mathrm d} x ^ c \ wedge {\ mathrm d} x ^ d.

У цих позначеннях рівняння Максвелла можуть бути дуже компактно записані як

\ Mathrm {d} \, {\ textbf {F}} = \ textbf {0}
\ Mathrm {d} \, {* \ textbf {F}} = \ textbf {J}

де * - Оператор зірки Ходжа. Подібним чином може бути описана геометрія загальної калібрувальної теорії.

2-форма * \ Mathbf {F} також називається 2-формою Максвелла.


5.3. Гамильтонова механіка

За допомогою диференціальних форм можна сформулювати гамильтонова механіку чисто геометрично. Розглянемо сімплектіческое різноманіття M із заданими на ньому сімплектіческой формою ω і функцією H , Званою функцією Гамільтона. ω задає в кожній точці X \ in M ізоморфізм I дотичного T X M і кокасательного T ^{*}_{ X} M просторів за правилом

dH (\ mathbf {u}) = \ omega (I dH, \ mathbf {u}), ~ ~ \ forall \ mathbf {u} \ in T_ {X} M ,

де d H - диференціал функції H . Векторне поле I d H на різноманітті називається Гамільтона полем, а відповідний йому фазовий потік - Гамільтона потоком. Гамильтонов фазовий потік зберігає сімплектіческую форму, а отже, зберігає і будь-яку її зовнішню ступінь. Звідси випливає теорема Ліувілля. Дужка Пуассона функцій F і G на M визначається за правилом

[F, G] = ω (I d F, I d G)

6. Варіації і узагальнення

Крім матеріально-і комплекснозначних форм, часто також розглядаються диференціальні форми зі значеннями в векторні розшарування. У цьому випадку в кожній точці задається полілінейная антисиметрична функція від k векторів з дотичного розшарування, повертає вектор з шару над цією точкою. Формально зовнішні k-форми на M зі значеннями у векторному розшаруванні \ Pi \ colon E \ to M визначаються як перетину тензорного твори розшарувань

\ Left (\ bigwedge ^ k T ^ * M \ right) \ otimes_ {M} E

Окремий випадок векторнозначних диференціальних форм - тангенціальнозначние форми, у визначенні яких як векторного розшарування береться дотичне розшарування T M .


Література

  • Арнольд В. І. Математичні методи класичної механіки - 5-е изд., стереотипне. - М .: Едіторіал УРСС, 2003. - 416 с. - 1500 екз . - ISBN 5-354-00341-5.
  • Годбійон К. Диференціальна геометрія та аналітична механіка - М .: Світ, 1971.
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія. Методи і програми - М .: Наука, 1971.
  • Картан А. Диференціальне числення. Диференціальні форми - М .: Світ, 1971.
  • Постніков М. М. Лекції з геометрії. Семестр III. Гладкі різноманіття - М .: Наука, 1987.
  • Булдирев В. С., Павлов Б. С. Лінійна алгебра і функції багатьох змінних - Л. : Видавництво Ленінградського університеті, 1985.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Диференціальна психологія
Диференціальна алгебра
Диференціальна еволюція
Душа (диференціальна геометрія)
Диференціал (диференціальна геометрія)
Зв'язність (диференціальна геометрія)
Структура (диференціальна геометрія)
Мережа (диференціальна геометрія)
Диференціальна геометрія і топологія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru