Диференціал (від лат. differentia - Різниця, відмінність) в математики - лінійна частина приросту функції, що диференціюється або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.


1. Необхідні знання

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібне початкові предствлений про гладких многовидах і їх дотичних просторах.

2. Позначення

Зазвичай диференціал f позначається df . Деякі автори вважають за краще позначати \ Operatorname {d} f шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал в точці x позначається d_xf , А іноді df_x або df [x] . ( d_xf є лінійна функція на дотичному просторі в точці x .)

Якщо v є дотичний вектор в точці x , То значення диференціала на v звичайно позначається df (v) , В цьому позначенні x зайво, але позначення d_xf (v) , df_x (v) і df [x] (v) також правомірні.

Використовується так само позначення f_ * ; Останнім свазано з тим, що диференціал f \ colon M \ to N є природним підняттям f на косательние розшарування до різноманіття M і N .


3. Визначення

3.1. Для вещественнозначних функцій

Нехай M - гладке різноманіття і f \ colon M \ to \ R гладка функція. Диференціал f представляє з себе 1-форму на M , Звичайно позначається df і визначається співвідношенням

df (X) = d_pf (X) = X f,

де X f позначає похідну f за напрямком дотичного вектора X в точці p \ in M .


3.2. Для відображень гладких многовидів

Диференціал гладкого відображення з гладкого різноманіття в різноманіття F \ colon M \ to N є відображення між їх дотичними розшаруваннями, dF \ colon TM \ to TN , Таке що для будь гладкої функції g \ colon N \ to \ R маємо

[DF (X)] g = X (g \ circ F),

де Xf позначає похідну f за напрямком X . (У лівій частині рівності береться похідна в N функції g по dF (X) ; В правій - в M функції g \ circ F по X ).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.


4. Пов'язані визначення

  • Точка x різноманіття M називається критичною точкою відображення f: M \ to N , Якщо диференціал d_x f: T_x M \ to T_ {f (x)} N не є сюрьектівним.)
    • У цьому випадку f (x) називається критичним значенням f .
    • Точка y \ in N називається регулярною, якщо вона не є критичною.
  • Гладке відображення F \ colon M \ to N називається субмерсіей, якщо для будь-якої точки x \ in M , Диференціал d_xF \ colon T_xM \ to T_ {F (x)} Nсюр'ектівен.
  • Гладке відображення F \ colon M \ to N називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки x \ in M , Диференціал d_xF \ colon T_xM \ to T_ {F (x)} Nін'ектівен.

5. Властивості

  • Диференціал композиції дорівнює композиції диференціалів:
    d (F \ circ G) = dF \ circ dG або d_x (F \ circ G) = d_ {G (x)} F \ circ d_xG

6. Приклади

  • Нехай у відкритому безлічі \ Omega \ subset \ R задана гладка функція f \ colon \ Omega \ to \ R . Тоді df = f '\, dx , Де f ' позначає похідну f , А dx є постійною формою, визначеною dx (V) = V .
  • Нехай у відкритому безлічі \ Omega \ subset \ R ^ n задана гладка функція f \ colon \ Omega \ to \ R . Тоді df = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \, dx_i . Форма dx_i може бути визначена співвідношенням dx_i (V) = v_i , Для вектора V = (v_1, \; v_2, \; \ ldots, \; v_n) .
  • Нехай у відкритому безлічі \ Omega \ subset \ R ^ n задано гладке відображення F \ colon \ Omega \ to \ R ^ m . Тоді
    d_xF (v) = J (x) v,
де J (x) є матриця Якобі відображення F в точці x .