Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Довга лінія



План:


Введення


Довга лінія - регулярна [1] лінія електропередачі, довжина якої перевищує довжину хвилі коливань, що поширюються в ній, а відстань між провідниками, з яких вона складається, значно менше цієї довжини хвилі.

Характерною особливістю довгих ліній є прояв інтерференції двох хвиль, що поширюються назустріч один одному. Одна з цих хвиль створюється підключеним до лінії генератором електромагнітних коливань, і називається падаючої. Інша хвиля називається відбитої, і виникає через відбиття падаючої хвилі від навантаження, підключеної до протилежного кінця лінії. Все розмаїття процесів, що відбуваються в довгій лінії, визначається амплітудно-фазовими співвідношеннями між падаючої і відображеної хвилями.


1. Диференціальні рівняння довгої лінії

Двухпроводная довга лінія
Z Н = R Н + iX Н - комплексний опір навантаження;
z - поздовжня координата лінії, відлічувана від місця підключення навантаження.

1.1. Погонні параметри

З електродинаміки відомо, що лінія передачі може бути охарактеризована її погонними параметрами:

  • R 1 - погонное опір, Ом / м;
  • G 1 - погонна провідність, 1/ом м;
  • L 1 - погонна індуктивність Гн / м;
  • C 1 - погонна ємність Ф / м;
  • Z_1 = R_1 + i \ omega L_1
  • Y_1 = G_1 + i \ omega C_1

Погонні опір R 1 і провідність G 1 залежать від провідності матеріалу проводів та якості діелектрика, що оточує ці дроти, відповідно. Згідно закону Джоуля - Ленца, чим менше теплові втрати в металі проводів і в діелектрику, тим менше R +1 і більше G 1. (Зменшення активних втрат в діелектрику означає збільшення його опору, тому що активні втрати в діелектрику - це струми витоку. Для моделі використовується зворотна величина - погонна провідність G 1.)

Погонні індуктивність L 1 і ємність C 1 визначаються формою і розмірами поперечного перерізу проводів, а також відстанню між ними.

А Z_1 і Y_1 - Погонні комплексні опір і провідність лінії, що залежать від частоти \ Omega .

Виділимо з лінії елементарний ділянку нескінченно малої довжини dz і розглянемо його еквівалентну схему.


1.2. Еквівалентна схема ділянки довгої лінії

Еквівалентна схема ділянки довгої лінії. Стрілками позначені напрями відліку напруги U та струму I в лінії; dU і dI - збільшення напруги і струму в лінії на елементі довжини dz

Значення параметрів схеми визначаються співвідношеннями:

\ Begin {cases} dR = R_1dz; \ \ dG = G_1dz; \ \ dL = L_1dz; \ \ dC = C_1dz; \ \ \ end {cases}
(1)


Використовуючи еквівалентну схему, запишемо вираження для збільшень напруги і струму:

\ Begin {cases} dU = I (dR + i \ omega dL) \ \ dI = U (dG + i \ omega dC) \ \ \ end {cases}

Підставляючи сюди значення параметрів схеми з (1), отримуємо:

\ Begin {cases} dU = IZ_1dz \ \ dI = UY_1dz \ \ \ end {cases}

З останніх співвідношень знаходимо диференціальні рівняння лінії. Ці рівняння визначають зв'язок між струмом і напругою в будь-якому перетині лінії і називаються телеграфними рівняннями довгої лінії:


1.3. Телеграфні рівняння

\ Begin {cases} \ frac {dU} {dz} = IZ_1 \ \ \ frac {dI} {dz} = UY_1 \ \ \ end {cases}
(2)

1.4. Наслідки

Вирішимо телеграфні рівняння щодо напруги та струму. Для цього продиференціюємо їх по z:

\ Begin {cases} \ frac {d ^ 2U} {dz ^ 2} = \ frac {dI} {dz} Z_1 \ \ \ frac {d ^ 2I} {dz ^ 2} = \ frac {dU} {dz} Y_1 \ \ \ end {cases}
(3)

При цьому врахуємо умова регулярності лінії:

1.5. Умова регулярності лінії

\ Begin {cases} \ frac {dZ_1} {dz} = 0 \ \ \ frac {dY_1} {dz} = 0 \ \ \ end {cases}
(4)

Дані співвідношення є математичним визначенням регулярності довгої лінії. Сенс співвідношення (4) полягає в незмінності вздовж лінії її погонних параметрів.

Підставляючи в (3) значення похідних напруги та струму з (2), після перетворень одержуємо:

1.6. Однорідні хвилеві рівняння довгої лінії

\ Begin {cases} \ frac {d ^ 2U} {dz ^ 2} - \ gamma ^ 2U = 0 \ \ \ frac {d ^ 2I} {dz ^ 2} - \ gamma ^ 2I = 0 \ \ \ end { cases} ,
(5)

де γ - коефіцієнт поширення хвилі в лінії: \ Gamma = \ sqrt {Z_1Y_1} .

Співвідношення (5) називаються однорідними хвильовими рівняннями довгої лінії. Їх рішення відомі і можуть бути записані у вигляді:

\ Begin {cases} U = A_Ue ^ {\ gamma z} + B_Ue ^ {- \ gamma z} \ \ I = A_Ie ^ {\ gamma z} + B_Ie ^ {- \ gamma z} \ \ \ end {cases} ,
(6)

де A U, B U і A I, B I - коефіцієнти, які мають одиниці виміру напруги й струму відповідно, зміст яких буде ясний нижче.

Рішення хвильових рівнянь у вигляді (6) мають досить характерний вигляд: перше складова в цих рішеннях є падаючу хвилю напруги або струму, що поширюється від генератора до навантаження, другий доданок - відображену хвилю, що поширюється від навантаження до генератора. Таким чином, коефіцієнти A U, A I представляють собою комплексні амплітуди падаючих хвиль напруги і струму відповідно, а коефіцієнти B U, B I - комплексні амплітуди відбитих хвиль напруги і струму відповідно. Так як частина потужності, що передається по лінії, може поглинатися в навантаженні, то амплітуди відбитих хвиль не повинні перевищувати амплітуди падаючих:

| B_U | \ leqslant | A_U |
| B_I | \ leqslant | A_I |

Напрям поширення хвиль в (6) визначається знаком у показниках ступеня експонент: плюс - хвиля поширюється в негативному напрямку осі z; мінус - в позитивному напрямку осі z (див. рис. 1). Так, наприклад, для падаючих хвиль напруги та струму можна записати:

\ Begin {cases} U_ \ Pi = A_Ue ^ {\ gamma z} \ \ I_ \ Pi = A_Ie ^ {\ gamma z} \ \ \ end {cases} ,
(7)

Коефіцієнт поширення хвилі в лінії γ в загальному випадку є комплексною величиною і може бути представлений у вигляді:

\ Gamma = \ sqrt {Z_1Y_1} = \ sqrt {(R_1 + i \ omega L_1) (G_1 + i \ omega C_1)} = \ alpha + i \ beta ,
(8)

де α - коефіцієнт загасання хвилі [2] в лінії; β - коефіцієнт фази [3]. Тоді співвідношення (7) можна переписати у вигляді:

\ Begin {cases} U_ \ Pi = A_Ue ^ {\ alpha z} e ^ {i \ beta z} \ \ I_ \ Pi = A_Ie ^ {\ alpha z} e ^ {i \ beta z} \ \ \ end { cases} .
(9)

Так як при поширенні падаючої хвилі на довжину хвилі в лінії λ Л фаза хвилі змінюється на 2 π, то коефіцієнт фази можна пов'язати з довжиною хвилі λ Л співвідношенням

\ Beta = \ frac {2 \ pi} {\ lambda_ \ Lambda} .
(10)

При цьому фазова швидкість хвилі в лінії V Ф визначається через коефіцієнт фази:

V_ \ Phi = \ frac {\ omega} {\ beta} .
(11)

Визначимо коефіцієнти A і B, що входять до рішень (6) хвильових рівнянь, через значення напруги U Н і струму I Н на навантаженні. Це є виправданим, так як напруга і струм на навантаженні практично завжди можна виміряти за допомогою вимірювальних приладів. Скористаємося першим з телеграфних рівнянь (2) і підставимо в нього напруга і струм з (6). Тоді отримаємо:

~ A_U \ gamma e ^ {\ gamma z} - B_U \ gamma e ^ {- \ gamma z} = Z_1 A_I \ gamma e ^ {\ gamma z} + Z_1 B_Ie ^ {- \ gamma z}

Порівнявши коефіцієнти при експонентів з однаковими показниками ступенів, отримаємо:

\ Begin {cases} A_I = \ frac {A_U} {W} \ \ B_I = - \ frac {B_U} {W} \ \ \ end {cases} ,

(12)

де W = \ sqrt {\ frac {Z_1} {Y_1}} - Хвильовий опір лінії [4].

Перепишемо (6) з урахуванням (12):

\ Begin {cases} U = A_Ue ^ {\ gamma z} + B_Ue ^ {- \ gamma z} \ \ I = \ frac {A_Ue ^ {\ gamma z} - B_Ue ^ {- \ gamma z}} {W} \ \ \ end {cases} .

(13)

Для визначення коефіцієнтів A і B в цих рівняннях скористаємося умовами в кінці лінії z = 0:

\ Begin {cases} U (z = 0) = U_H \ \ I (z = 0) = I_H \ \ \ end {cases} .

Тоді з (13) при z = 0 знайдемо

\ Begin {cases} A_U = \ tfrac {1} {2} (U_H + I_HW) \ \ B_U = \ tfrac {1} {2} (U_H - I_HW) \ \ \ end {cases} ,

(14)

Підставивши отримані значення коефіцієнтів з (14) в (13), після перетворень отримаємо:

\ Begin {cases} U = U_H \ operatorname {ch} (\ gamma z) + I_HW \ operatorname {sh} (\ gamma z) \ \ I = I_H \ operatorname {ch} (\ gamma z) + \ frac {U_H } {W} \ operatorname {sh} (\ gamma z) \ \ \ end {cases} .

(15)

При виведенні (15) враховані визначення гіперболічних синуса і косинуса [5].

Співвідношення для напруги та струму (15) так само, як і (6), є рішеннями однорідних хвильових рівнянь. Їхня відмінність полягає в тому, що напруга і струм в лінії в співвідношенні (6) визначено через амплітуди падаючої і відбитої хвиль, а в (15) - через напругу і струм на навантаженні.

Розглянемо найпростіший випадок, коли напруга і струм в лінії визначаються тільки падаючої хвилею, а відбита хвиля відсутня [6]. Тоді в (6) слід покласти B U = 0, B I = 0:

\ Begin {cases} U = A_Ue ^ {\ alpha z} e ^ {i \ beta z} \ \ I = A_Ie ^ {\ alpha z} e ^ {i \ beta z} \ \ \ end {cases} .

1.7. Розподіл поля падаючої хвилі

Рис.3. Епюри напруг падаючої хвилі у довгій лінії. а) амплітуда; б) фаза

На рис.3. представлені епюри зміни амплітуди | U | і фази φ U напруги вздовж лінії. Епюри зміни амплітуди і фази струму мають такий же вигляд. З розгляду епюр випливає, що при відсутності в лінії втрат [2] = 0) амплітуда напруги в якому перетині лінії залишається однією і тією ж. При наявності втрат в лінії [2] > 0) частину переносимої потужності перетворюється в тепло (нагрівання проводів лінії і навколишнього їх діелектрика). З цієї причини амплітуда напруги падаючої хвилі експоненціально зменшується в напрямку розповсюдження.

Фаза напруги падаючої хвилі φ U = β z змінюється за лінійним законом і зменшується в міру віддалення від генератора.

Розглянемо зміну амплітуди і фази, наприклад, напруги при наявності падаючої і відбитої хвиль. Для спрощення припустимо, що втрати в лінії відсутні, тобто α [2] = 0. Тоді напруга в лінії можна представити у вигляді:

~ U = A_Ue ^ {i \ beta z} + B_Ue ^ {-i \ beta z} = A_U (e ^ {i \ beta z} + \ Gamma e ^ {-i \ beta z}) , (16)

де \ Gamma = B_U / A_U - Комплексний коефіцієнт відбиття по напрузі.


2. Комплексний коефіцієнт відбиття по напрузі

Характеризує ступінь узгодження лінії передачі з навантаженням. Модуль коефіцієнта відображення змінюється в межах: 0 \ leqslant | \ Gamma | \ leqslant 1

  • | Г | = 0, якщо відбиття від навантаження відсутні і B U = 0 [6];
  • | Г | = 1, якщо хвиля повністю відбивається від навантаження, тобто | A_U | = | B_U | ;

Співвідношення (16) являє собою суму падаючої і відбитої хвиль.

Рис.4. Векторна діаграма напруг в лінії з відбитою хвилею

Відобразимо напруга на комплексній площині у вигляді векторної діаграми, кожен з векторів якої визначає падаючу, відбиту хвилі і результуюче напруга (рис. 4). З діаграми видно, що існують такі поперечні перерізи лінії, в яких падаюча і відбита хвилі складаються в фазі. Напруга в цих перетинах досягає максимуму, величина якого дорівнює сумі амплітуд падаючої і відображеної хвиль:

~ U_ {max} = | A_U | + | B_U | .

Крім того, існують такі поперечні перерізи лінії, в яких падаюча і відбита хвилі складаються в протифазі. При цьому напруга досягає мінімуму:

~ U_ {min} = | A_U | - | B_U | .

Якщо лінія навантажена на опір, для якого | Г | = 1, тобто амплітуда падаючої і відбитої хвиль рівні | B U | = | A U |, то в цьому випадку U max = 2 | A U |, а U min = 0.

Рис.5. Епюри розподілу напруги уздовж лінії з відбитою хвилею. а) Модуль напруги; б) фаза напруги.

Напруга в такій лінії змінюється від нуля до подвоєної амплітуди падаючої хвилі. На рис. 5 представлені епюри зміни амплітуди і фази напруги уздовж лінії при наявності відбитої хвилі.


3. Коефіцієнти біжить і стоячої хвилі

За епюрі напруги судять про ступінь узгодження лінії з навантаженням. Для цього вводяться поняття коефіцієнта біжучої хвилі - k БВ і коефіцієнта стоячої хвилі k СВ:

k_ {bv} = \ frac {U_ {min}} {U_ {max}} = \ frac {| A_U | - | B_U |} {| A_U | + | B_U |} = \ frac {1 - | \ Gamma | } {1 + | \ Gamma |}
(17)
k_ {sv} = \ frac {1} {k_ {bv}}
(18)

Ці коефіцієнти, судячи з визначенням, змінюються в межах:

~ 0 \ leqslant k_ {bv} \ leqslant 1 ,
~ 1 \ leqslant k_ {sv} \ leqslant \ infty .

На практиці найбільш часто використовується поняття коефіцієнта стоячої хвилі, так як сучасні вимірювальні прилади (панорамні вимірювачі k СВ) на індикаторних пристроях відображають зміну саме цієї величини в певній смузі частот.


4. Вхідний опір довгої лінії

Вхідний опір лінії - є важливою характеристикою, яка визначається в кожному перетині лінії як відношення напруги до струму в цьому перерізі:

~ Z_ {BX} = R_ {BX} + iX_ {BX}
~ Z_ {BX} (z) = \ frac {U (z)} {I (z)}
(19)

Так як напруга і струм в лінії змінюються від перетину до перетину, то і вхідний опір лінії змінюється щодо її поздовжньої координати z. При цьому говорять про трансформують властивості лінії, а саму лінію розглядають як трансформатор опорів. Детальніше властивість лінії трансформувати опору буде розглянуто нижче.


5. Режими роботи довгої лінії

Розрізняють три режими роботи лінії:

  1. режим біжучої хвилі; [7]
  2. режим стоячої хвилі; [7]
  3. режим змішаних хвиль.

5.1. Режим біжучої хвилі

Режим біжучої хвилі характеризується наявністю тільки падаючої хвилі, що розповсюджується від генератора до навантаження. Відбита хвиля відсутня. Потужність, що переноситься падаючої хвилею, повністю виділяється в навантаженні. В цьому режимі B U = 0, | Г | = 0, k св = k бв = 1 [7].

5.2. Режим стоячій хвилі

Режим стоячій хвилі характеризується тим, що амплітуда відбитої хвилі дорівнює амплітуді падаючої B U = A U тобто енергія падаючої хвилі повністю відбивається від навантаження і повертається назад у генератор. В цьому режимі, | Г | = 1, k св = \ Infty , K бв = 0 [7].

5.3. Режим змішаних хвиль

У режимі змішаних хвиль амплітуда відбитої хвилі задовольняє умові 0 U U то є частина потужності падаючої хвилі втрачається в навантаженні, а інша частина у вигляді відбитої хвилі повертається назад у генератор. При цьому 0 <| Г | <1, 1 св < \ Infty , 0 бв <1

6. Лінія без втрат

Рис.6. Епюри напруги, струму і вхідного опору у відкритій (розімкнутої) лінії

У лінії без втрат погонні параметри R 1 = 0 і G 1 = 0. Тому для коефіцієнта поширення γ і хвильового опору W отримаємо:

\ Gamma = \ sqrt {Z_1Y_1} = \ sqrt {(R_1 + i \ omega L_1) (G_1 + i \ omega C_1)} = i \ omega \ sqrt {L_1C_1} ;
\ Alpha = 0; ~ ~ \ beta = \ omega \ sqrt {L_1C_1}; ~ ~ W = \ sqrt {\ frac {Z_1} {Y_1}} = \ sqrt {\ frac {L_1} {C_1}} .
(20)

З урахуванням цього виразу для напруги та струму (15) приймуть вид:

\ Begin {matrix} U = U_H \ cos (\ beta z) & + & iI_HW \ sin (\ beta z) \ \ I = I_H \ sin (\ beta z) & + & i \ tfrac {U_H} {W} \ cos (\ beta z) \ end {matrix}
(21)

При виведенні цих співвідношень враховані особливості [8] гіперболічних функцій [5].

Розглянемо конкретні приклади роботи лінії без втрат на найпростіші навантаження.


6.1. Розімкнута лінія

У цьому випадку струм, що протікає через навантаження дорівнює нулю (I Н = 0), тому вираження для напруги, струму і вхідного опору в лінії приймають вигляд:

~ U = U_H \ cos (\ beta z); \ quad I = i \ frac {U_H} {W} \ sin (\ beta z)
Z_ {BX} = \ frac {U} {I} =-iW \ operatorname {ctg} (\ beta z) = iX_ {BX}
\ Beta = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}
(22)
Рис.7. Епюри напруг, струму і вхідного опору в короткозамкненою лінії

На рис.6 ці залежності проілюстровані графічно. З співвідношень (22) і графіків слід:

  • в лінії, розімкнутої на кінці, встановлюється режим стоячої хвилі, напруга, струм і вхідний опір вздовж лінії змінюються по періодичному закону з періодом λ Л / 2;
  • вхідний опір розімкнутої лінії є чисто уявним за винятком точок з координатами z = Л / 4, n = 0,1,2, ...;
  • якщо довжина розімкнутої лінії менше λ Л / 4, то така лінія еквівалентна ємності;
  • розімкнена на кінці лінія довжиною λ Л / 4 еквівалентна послідовного резонансного на розглянутій частоті контуру і має нульовий вхідний опір;
  • лінія, довжина якої лежить в інтервалі від λ Л / 4 до λ Л / 2, еквівалентна індуктивності;
  • розімкнена на кінці лінія довжиною λ Л / 2 еквівалентна паралельного резонансного контуру на розглянутій частоті і має нескінченно великий вхідний опір.

6.2. Замкнута лінія

У цьому випадку напруга на навантаженні дорівнює нулю (U Н = 0), тому напруга, струм і вхідний опір в лінії приймають вигляд:

U = iI_HW \ sin (\ beta z); \ quad I = I_H \ cos (\ beta z)
Z_ {BX} = \ frac {U} {I} = iW \ operatorname {tg} (\ beta z) = iX_ {BX}
(23)

На рис.7 ці залежності проілюстровані графічно.

Рис.8. Епюри напруги, струму і вхідного опору в лінії, навантаженої на ємність

Використовуючи результати попереднього розділу, неважко самостійно зробити висновки про трансформують властивості короткозамкненою лінії. Зазначимо лише, що в замкнутій лінії також встановлюється режим стоячої хвилі. Відрізок короткозамкненою лінії, довжиною менше λ Л / 4 має індуктивний характер вхідного опору, а при довжині λ Л / 4 така лінія має нескінченно великий вхідний опір на робочій частоті [9].


6.3. Ємнісна навантаження

Як випливає з аналізу роботи розімкнутої лінії, кожній ємності C на даній частоті ω можна поставити у відповідність відрізок розімкнутої лінії довжиною менше λ Л / 4. Ємність C має ємнісний опір iX_C = - \ tfrac {i} {\ omega C} . Прирівняємо величину цього опору до вхідного опору розімкнутої лінії довжиною l <λ Л / 4:

- \ Tfrac {i} {\ omega C} =-iW \ operatorname {ctg} (\ beta l) .

Звідси знаходимо довжину лінії, еквівалентну по вхідному опору ємності C:

l = \ tfrac {1} {\ beta} \ operatorname {arctg} (\ omega CW) .

Знаючи епюри напруги, струму і вхідного опору розімкнутої лінії, відновлюємо їх для лінії, що працює на ємність (рис.8). З епюр випливає, що в лінії, що працює на ємність, встановлюється режим стоячої хвилі.

При змін ємності епюри зсуваються вздовж осі z. Зокрема, при збільшенні ємності ємнісний опір зменшується, напруга на ємності падає і все епюри зсуваються вправо, наближаючись до епюра, відповідним короткозамкненою лінії. При зменшенні ємності епюри зсуваються вліво, наближаючись до епюра, відповідним розімкнутої лінії.


6.4. Індуктивна навантаження

Рис.9. Епюри напруги, струму і вхідного опору в лінії, що працює на індуктивність

Як випливає з аналізу роботи замкнутої лінії, кожній індуктивності L на даній частоті ω можна поставити у відповідність відрізок замкнутої лінії довжиною менше λ Л / 4. Індуктивність L має індуктивний опір iX Л = iωL. Прирівняємо цей опір до вхідного опору замкнутої лінії довжиною λ Л / 4:

~ I \ omega L = iW \ operatorname {tg} (\ beta l) .

Звідси знаходимо довжину лінії l, еквівалентну по вхідному опору індуктивності L:

~ L = \ tfrac {1} {\ beta} \ operatorname {arctg} (\ omega \ tfrac {L} {W}) .

Знаючи епюри напруги, струму і вхідного опору замкнутої на кінці лінії, відновлюємо їх для лінії, що працює на індуктивність (рис. 9). З епюр випливає, що в лінії, що працює на індуктивність, також встановлюється режим стоячої хвилі. Зміна індуктивності призводить до зрушення епюр вздовж осі z. Причому зі збільшенням L епюри зсуваються вправо, наближаючись до епюра холостого ходу, а зі зменшенням L - вліво по осі z, прагнучи до епюра короткого замикання.


6.5. Активне навантаження

У цьому випадку струм і напруга на навантаженні R Н зв'язані співвідношенням U Н = I Н R Н [10]. Вирази для напруги та струму в лінії (21) приймають вигляд:

U = U_H \ cos (\ beta z) + iU_H \ tfrac {W} {R_H} \ sin (\ beta z)
I = I_H \ cos (\ beta z) + iI_H \ tfrac {R_H} {W} \ sin (\ beta z)
(23)

Розглянемо роботу такої лінії на прикладі аналізу напруги. Знайдемо з (23) амплітуду напруги в лінії:

| U | = U_H \ sqrt {\ cos ^ 2 (\ beta z) + \ left (\ tfrac {W} {R_H} \ right) ^ 2 \ sin ^ 2 (\ beta z)}
(24)

Звідси випливає, що можна виділити три випадки:

  • Опір навантаження одно хвильовому опору лінії R Н = W [6] [7]
  • Опір навантаження більше хвильового опору лінії R Н> W
  • Опір навантаження менше хвильового опору лінії R Н

У першому випадку з (24) слід | U | = U Н, тобто розподіл амплітуди напруги вздовж лінії залишається постійним, рівним амплітуді напруги на навантаженні. Це відповідає режиму біжучої хвилі в лінії.



6.6. Комплексна навантаження

7. ККД лінії з втратами

8. Межі застосовності теорії довгої лінії

Примітки

  1. Регулярна лінія електропередачі - це лінія, електрофізичні та геометричні параметри якої не змінюються вздовж її довжини.
  2. 1 2 3 4 Коефіцієнт загасання α визначає швидкість зменшення амплітуди хвилі при поширенні уздовж лінії.
  3. Коефіцієнт фази β визначає швидкість зміни фази хвилі вздовж лінії.
  4. Хвильовим опором лінії передачі називається відношення напруги до струму в біжучому хвилі.
  5. 1 2 Гіперболічні функції
  6. 1 2 3 Така лінія називається повністю узгодженою.
  7. 1 2 3 4 5 Чи не реалізовується на практиці. Є лише математичною абстракцією Можливо лише наближення в тій, чи іншій мірі.
  8. \ Operatorname {ch} (i \ beta z) = \ cos (\ beta z) , \ Operatorname {sh} (i \ beta z) = \ sin (\ beta z)
  9. Це властивість короткозамкнутого четвертьволнового відрізка лінії дозволяє використовувати його в практичних пристроях як " металевий ізолятор ".
  10. Закон Ома


Wiki letter w.svg
Для поліпшення цієї статті бажано ? :

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Довга малоберцовая м'яз
Довга приводить м'яз
Довга арифметика
Довга депресія
Настільки довга відсутність
Довга Мег і її дочки
Лінія
Відкрита лінія
Спектральна лінія
© Усі права захищені
написати до нас