Question book-4.svg
У цій статті не вистачає інформації.
Інформація повинна бути проверяєма, інакше вона може бути поставлена ​​під сумнів і вилучена.
Ви можете відредагувати цю статтю, додавши посилання на авторитетні джерела.
Ця відмітка встановлена ​​28 лютого 2012.

Доцентрове прискорення - компонента прискорення точки, що характеризує зміну напряму вектора швидкості для траєкторії з кривизною. (Друга компонента, тангенціальне прискорення, характеризує зміною модуля швидкості.) Направлено до центру кривизни траєкторії, чим і обумовлений термін. За величиною дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни. Термін "доцентрове прискорення" в цілому еквівалентний терміну "нормальне прискорення"; відмінності лише стилістичні (іноді історичні).

Найбільш простим прикладом доцентровий прискорення є вектор прискорення при рівномірному русі по колу (спрямований до центру кола).

В класичній механіці доцентрове прискорення викликається компонентами сил, спрямованими ортогонально вектору швидкості (і отже - перпендикулярно дотичній до траєкторії в даній точці). Наприклад, кривизна орбіт космічних об'єктів характеризується доцентровим прискоренням, викликаним гравітацією.

Пов'язане поняття для неінерційній систем відліку - відцентрова сила.


1. Елементарна формула

a_n = \ frac {v ^ 2} {R} \

або

a_n = \ omega ^ 2 R \,

де a_n \ - Нормальне (доцентрове) прискорення, v \ - (Миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, \ Omega \ - (Миттєва) кутова швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії, R \ - Радіус кривизни траєкторії в даній точці. (Язок між першою формулою і другий очевидна, враховуючи v = \ omega R \ ).

Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домножити на \ Mathbf e_R - Одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до даної її точки:

\ Mathbf a_n = \ frac {v ^ 2} {R} \ mathbf e_R = \ frac {v ^ 2} {R ^ 2} \ mathbf R
\ Mathbf a_n = \ omega ^ 2 \ mathbf R.

Ці формули одно застосовні до випадку руху з постійною (по абсолютній величині) швидкістю, так і до довільного нагоди. Однак у другому треба мати на увазі, що доцентрове прискорення не є повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії (або, що те ж, перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); на повний же вектор прискорення тоді входить ще й тангенціальна складова ( тангенціальне прискорення) a_ \ tau = dv / dt \ , У напрямку збігається з дотичною до траєкторії (або, що те ж, з миттєвою швидкістю) [1].


2. Мотивування та висновок

Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну уздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме по собі. Це посилюється тим, що при русі з постійною за величиною швидкістю тангенціальна складова буде рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тільки нормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості і структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе і нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливе окремому випадку руху по колу (який, до того ж, практично без зміни може бути узагальнений і на загальний випадок).


2.1. Геометричний висновок для нерівномірного руху по колу

2.2. Геометричний висновок для довільного руху (по довільній траєкторії)

2.3. Формальний висновок

Розкладання прискорення на тангенціальну і нормальну компоненти (друга з яких і є доцентрове або нормальне прискорення) можна знайти, продифференцировав по часу вектор швидкості, представленнний у вигляді \ Mathbf v = v \, \ mathbf e_ \ tau через одиничний вектор дотичної \ Mathbf e_ \ tau :

\ Mathbf a = \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} = \ frac {d (v \ mathbf e_ \ tau)} {dt} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d } t} \ mathbf e_ \ tau + v \ frac {d \ mathbf e_ \ tau} {dt} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} \ mathbf e_ \ tau + v \ frac {d \ mathbf e_ \ tau} {dl} \ frac {dl} {dt} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} \ mathbf e_ \ tau + \ frac {v ^ 2 } {R} \ mathbf e_n \,

де перший доданок - тангенціальне прискорення, а друге - нормальне прискорення.

Тут використано позначення e_n \ для одиничного вектора нормалі до траєкторії і l \ - Для поточної довжини траєкторії ( l = l (t) \ ); В останньому переході також використано очевидне dl / dt = v \ .

Далі можна просто формально назвати член

\ Frac {v ^ 2} {R} \ mathbf e_n \

- Нормальним (доцентровим) прискоренням. При цьому його сенс, сенс входять до нього об'єктів, а також доказ того факту, що він дійсно ортогонален дотичний вектор (тобто що \ Mathbf e_n \ - Дійсно вектор нормалі) - буде слідувати з геометричних міркувань (втім, те, що похідна будь-якого вектора постійної довжини за часом перпендикулярна самому цьому вектору, - досить простий факт, у даному випадку ми застосовуємо це твердження для \ Frac {d \ mathbf e_ \ tau} {dt} ).


3. Зауваження

Легко помітити, що абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від колійного прискорення, співпадаючи з його абсолютною величиною, на відміну від абсолютної величини нормального прискорення, яка від колійного прискорення не залежить, зате залежить від шляхової швидкості.

Наведені тут способи або їх варіанти можуть бути використані для введення таких понять, як кривизна кривої і радіус кривизни кривої [2] (оскільки в разі, коли крива - коло, R збігається з радіусом такої окружності; не надто важко також показати, що оружно в площині \ Mathbf e_ \ tau, e_n \ з центром в напрямку e_n \ від даної точки на відстані R від неї - буде збігатися з даної кривої - траєкторією - з точністю до другого порядку малості по відстані до даної точки).


4. Історія

Першим правильні формули для доцентровий прискорення (або відцентрової сили) отримав, мабуть, Гюйгенс. Практично з цього часу розгляд доцентровий прискорення входить в звичайну техніку рішення механічних задач ітд.

Трохи пізніше ці формули відіграли істотну роль у відкритті закону всесвітнього тяжіння (формула доцентровий прискорення використовувалася для отримання закону залежності гравітаційної сили від відстані до джерела гравітації, виходячи з виведеного з спостережень третього закону Кеплера).

До XIX століття розгляд доцентровий прискорення стає вже зовсім рутинним як для чистої науки, так і для інженерних додатків.


Примітки

  1. Як видно з формули, при русі з постійною шляховий швидкістю - тангенціальне прискорення попросту дорівнює нулю.
  2. Розглядаючи криву в якості траєкторії руху точки. Для введення цих понять в принципі достатньо розглянути рух з постійною одиничною швидкістю, хоча це спрощує справу не так вже суттєво.