Елементарний топос

В теорії категорій елементарний топос - це категорія, в деякому сенсі схожа на категорію множин. У рамках теорії елементарних топосів може бути описана аксіоматика як самої теорії множин, так і альтернативних теорій і логік, наприклад, інтуїционістського логіка.

1. Визначення

Елементарний топос - це декартово замкнута категорія, в якій існує виділений об'єкт Ω , Званий класифікатором підоб'єктів, і мономорфизм в нього з термінального об'єкта , Званий істиною (також позначається t r u e ), Такий що для будь-якого мономорфизм існує єдиний морфізм , Для якого діаграма

є декартовим квадратом.

Інакше кажучи, елементарний топос - це категорія, що має термінальний об'єкт і Декарта квадрат будь-яких двох стрілок із загальним кінцем, а також експоненціал a ^b будь-яких двох об'єктів a і b і класифікатор підоб'єктів Ω .

2. Властивості

• Будь елементарний топос є звичайно повним (за визначенням) і звичайно кополним.

3. Приклади

• Основним прикладом топосу, властивості якого послужили основою для загального визначення, є топос множин. У ньому експоненціал множин A і B - Це безліч A ^B відображень з B в A . Класифікатор підоб'єктів - це безліч Ω = {0, 1} , При цьому m - Природне вкладення A в B , А χ _m - характеристична функція підмножини A безлічі B , Що дорівнює 1 на елементах A і 0 на елементах . Подоб'екти A - Це його підмножини.

Література

• Р. Голдблатт топосу. Категорний аналіз логіки, - М .: Світ, 1983. - 487 с.