Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Еліптичні координати



План:


Введення

Еліптична система координат

Еліптичні координати - двовимірна ортогональна система координат, в якій координатними лініями є конфокальні еліпси і гіперболи. За два фокуси F 1 і F 2 зазвичай беруться точки - A і + A на осі X декартової системи координат.


1. Основне визначення

Еліптичні координати (\ Mu, \; \ nu) зазвичай визначаються за правилом:

x = a \, \ mathrm {ch} \, \ mu \ cos \ nu;
y = a \, \ mathrm {sh} \, \ mu \ sin \ nu,

де \ Mu \ geqslant 0 , \ Nu \ in [0, \; 2 \ pi) .

Таким чином визначається сімейство конфокальні еліпсів і гіпербол. Тригонометричне тотожність

\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2 \, \ mathrm {ch} ^ 2 \, \ mu} + \ frac {y ^ 2} {a ^ 2 \, \ mathrm {sh} ^ 2 \, \ mu } = \ cos ^ 2 \ nu + \ sin ^ 2 \ nu = 1

показує, що лінії рівня μ є еліпсами, а тотожність з гіперболічної геометрії

\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2 \ cos ^ 2 \ nu} - \ frac {y ^ 2} {a ^ 2 \ sin ^ 2 \ nu} = \ mathrm {ch} ^ 2 \, \ mu- \ mathrm {sh} ^ 2 \, \ mu = 1

показує, що лінії рівня ν є гіперболами.


1.1. Коефіцієнти Ламе

Коефіцієнти Ламе для еліптичних координат (\ Mu, \; \ nu) дорівнюють

H_ \ mu = H_ \ nu = a \ sqrt {\ mathrm {sh} ^ 2 \, \ mu + \ sin ^ 2 \ nu}.

Тотожності для подвійного кута дозволяють привести їх до виду

H_ \ mu = H_ \ nu = a \ sqrt {\ frac {1} {2} (\ mathrm {ch} \, 2 \ mu-\ cos 2 \ nu}).

Елемент площі дорівнює:

dS = a ^ 2 (\ mathrm {sh} ^ 2 \, \ mu + \ sin ^ 2 \ nu) \, d \ mu \, d \ nu,

а лапласіан дорівнює

Інші диференціальні оператори можуть бути отримані підстановкою коефіцієнтів Ламе в загальні формули для ортогональних координат.


2. Інше визначення

Іноді використовується інше більш геометрично інтуїтивне визначення еліптичних координат (\ Sigma, \; \ tau) :

\ Sigma = \ mathrm {ch} \, \ mu,
τ = cos ν.

Таким чином, лінії рівня σ є еліпсами, а лінії рівня τ є гіперболами. При цьому

\ Tau \ in [-1, \; 1], \ quad \ sigma \ geqslant 1.

Координати (\ Sigma, \; \ tau) мають просту зв'язок з відстанями до фокусів F 1 і F 2 . Для будь-якої точки на площині

d 1 + d 2 = 2 a σ,
d 1 - d 2 = 2 a τ,

де d_1, \; d_2 - Відстані до фокусів F_1, \; F_2 відповідно. Таким чином:

d 1 = a (σ + τ);
d 2 = a (σ - τ).

Нагадаємо, що F 1 і F 2 знаходяться в точках x = - a і x = + a відповідно.

Недоліком цієї системи координат є те, що вона не відображається взаємно однозначно на декартові координати.

x = a στ;
y 2 = a 22 - 1) (1 - τ 2).

2.1. Коефіцієнти Ламе

Коефіцієнти Ламе для альтернативних еліптичних координат (\ Sigma, \; \ tau) рівні:

h_ \ sigma = a \ sqrt {\ frac {\ sigma ^ 2 - \ tau ^ 2} {\ sigma ^ 2-1}};
h_ \ tau = a \ sqrt {\ frac {\ sigma ^ 2 - \ tau ^ 2} {1 - \ tau ^ 2}}.

Елемент площі дорівнює

dA = a ^ 2 \ frac {\ sigma ^ 2 - \ tau ^ 2} {\ sqrt {(\ sigma ^ 2-1) (1 - \ tau ^ 2)}} \, d \ sigma \, d \ tau ,

а лапласіан дорівнює

\ Tau} \ right) \ right].

Інші диференціальні оператори можуть бути отримані підстановкою коефіцієнтів Ламе в загальні формули для ортогональних координат.



Література

  • Корн Г., Корн Т. Довідник з математики (для науковців та інженерів) - М .: Наука, 1974. - 832 с.
Системи координат
Назва координат Абсциса Ордината Аппликата
Типи систем координат Прямолінійна система координат Криволінійна система координат
Двовимірні координати Біангулярние координати Біцентріческіе координати Полярні координати Біполярні координати Параболічні координати Тетрациклічні координати Еліптичні координати
Тривимірні координати Циліндричні координати Сферичні координати Бісферіческіе координати Тороїдальні координати Циліндричні параболічні координати Біціліндріческіе координати Трилинейная координати Еліпсоїдальної координати Конічні координати Пентасферіческіе координати
n -Мірні координати Декартові координати Аффінниє координати Проективні координати Плюккерови координати Баріцентріческіе координати
Фізичні координати Координати Ріндлера Координати Борна Система небесних координат Географічні координати Главноортодроміческая система координат
Пов'язані визначення Метод координат Початок координат Координатна вісь Вектор Орт Система відліку Репер Метричний тензор

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Еліптичні функції
Еліптичні рівняння
Еліптичні функції Вейєрштрасса
Еліптичні функції Якобі
Координати
Координати
Проективні координати
Трилинейная координати
Тетрациклічні координати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru