Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Еліптичні функції Якобі



План:


Введення

Еліптичні функції Якобі - це набір основних еліптичних функцій комплексного змінного, і допоміжних тета-функцій, які мають пряме відношення до деяких прикладним завданням (наприклад, рівняння маятника). Вони також мають корисні аналогією з тригонометричними функціями, як показує відповідне позначення \ Operatorname {\ mathrm {sn}} для sin . Вони не дають найпростіший спосіб розвинути загальну теорію, як відмічено недавно: це може бути сказано на основі еліптичних функцій Вейєрштрасса. Еліптичні функції Якобі мають в основному параллелограмме по два простих полюса і два простих нуля.


1. Введення

Існує еліптична функція, що має в основному параллелограмме один полюс другого порядку і два простих нуля; це - "еліптична функція Вейєрштрасса". Втім, більш корисні "еліптичні функції Якобі", що мають по два простих полюса і по два простих нуля в кожному основному параллелограмме. Кожна з цих функцій в основному параллелограмме приймає будь-яке значення в точності два рази.

2. Позначення

Для еліптичних функцій можна зустріти різноманітні позначення, які можуть заплутати суть справи. Еліптичні функції - функції двох змінних. Першу зміну можна дати в термінах амплітуди φ, або звичайно, в термінах u, даного нижче. Другу зміну можна було б дати в термінах параметра m, або як еліптичний модуль k, де k = m, або в термінах модулярного кута o \! \ varepsilon \, \! , Де m = \ sin ^ 2o \! \ varepsilon \, \! .


3. Визначення як зворотні до еліптичних інтегралів

Наведене вище визначення в термінах мероморфних функцій абстрактно. Існує більш просте, але абсолютно еквівалентне визначення, що задає еліптичні функції як зворотні до неповного еліптичному інтегралу першого роду. Це можливо найпростішому визначення для розуміння. Нехай

u = \ int \ limits_0 ^ \ phi \ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-m \ sin ^ 2 \ theta}}.

Еліптична функція sn u задається як

\ Operatorname {sn} \; u = \ sin \ phi \,

і cn u визначається

\ Operatorname {cn} \; u = \ cos \ phi

а

\ Operatorname {dn} \; u = \ sqrt {1-m \ sin ^ 2 \ phi}. \,

Тут кут φ називається амплітудою. \ Operatorname {dn} \; u = \ Delta (u) називається дельта амплітудою. Значення m є вільним параметром, який покладається реальним у діапазоні 0 \ leq m \ leq 1 , І таким чином еліптичні функції є функціями двох аргументів: амплітуди φ і параметра m.

Залишилися дев'ять еліптичних функцій легко побудувати з трьох вищенаведених. Це буде зроблено нижче.

Зауважте, що коли φ = π / 2 , То u дорівнює чверті періоду K.


4. Визначення у термінах тета-функцій

Еквівалентно еліптичні функції Якобі можна визначити в термінах θ-функцій. Якщо ми визначимо \ Vartheta (0; \ tau) як \ Vartheta , І \ Vartheta_ {01} (0; \ tau), \ vartheta_ {10} (0; \ tau), \ vartheta_ {11} (0; \ tau) відповідно як \ Vartheta_ {01}, \ vartheta_ {10}, \ vartheta_ {11} (Тета константи) тоді еліптичний модуль k дорівнює k = ({\ vartheta_ {10} \ over \ vartheta}) ^ 2 . вважаючи u = \ pi \ vartheta ^ 2 z , Одержимо

\ Mbox {sn} (u; k) = - {\ vartheta \ vartheta_ {11} (z; \ tau) \ over \ vartheta_ {10} \ vartheta_ {01} (z; \ tau)}


\ Mbox {cn} (u; k) = {\ vartheta_ {01} \ vartheta_ {10} (z; \ tau) \ over \ vartheta_ {10} \ vartheta_ {01} (z; \ tau)}


\ Mbox {dn} (u; k) = {\ vartheta_ {01} \ vartheta (z; \ tau) \ over \ vartheta \ vartheta_ {01} (z; \ tau)}

Оскільки функції Якобі визначаються в термінах еліптичного модуля k (τ) , Необхідно знайти зворотні до них і висловити τ в термінах k. Почнемо з додаткового модуля k '= \ sqrt {1-k ^ 2} . Як функція τ запишемо

k '(\ tau) = ({\ vartheta_ {01} \ over \ vartheta}) ^ 2.

Введемо позначення

\ Ell = {1 \ over 2} {1 - \ sqrt {k '} \ over 1 + \ sqrt {k'}} = {1 \ over 2} {\ vartheta - \ vartheta_ {01} \ over \ vartheta + \ vartheta_ {01}}.

Визначимо також ном q як q = exp (π i τ) і розкладемо \ Ell в ряд за ступенями нома q. Отримаємо

\ Ell = {q + q ^ 9 + q ^ {25} + \ cdots \ over 1 +2 q ^ 4 +2 q ^ {16} + \ cdots}.

Звернення ряду дає

q = \ ell +2 \ ell ^ 5 +15 \ ell ^ 9 +150 \ ell ^ {13} +1707 \ ell ^ {17} +20910 \ ell ^ {21} +268616 \ ell ^ {25} + \ cdots.

Оскільки ми можемо розглянути окремий випадок коли уявна частина τ більше або дорівнює \ Sqrt {3} / 2 , Ми можемо сказати, що значення q менше або дорівнює \ Exp (- \ pi \ sqrt {3} / 2) . Для таких малих значень вищенаведений ряд сходиться дуже швидко, і це дозволяє легко знайти відповідне значення для q.


5. Інші функції

Зміною порядку двох букв у назві функцій зазвичай позначають зворотні до трьох функцій наведених вище:

\ Operatorname {ns} (u) = 1 / \ operatorname {sn} (u)
\ Operatorname {nc} (u) = 1 / \ operatorname {cn} (u)
\ Operatorname {nd} (u) = 1 / \ operatorname {dn} (u)

Відносини трьох головних функцій позначають першою літерою чисельника, наступною перед першою буквою знаменника:

\ Operatorname {sc} (u) = \ operatorname {sn} (u) / \ operatorname {cn (u)}
\ Operatorname {sd} (u) = \ operatorname {sn} (u) / \ operatorname {dn (u)}
\ Operatorname {dc} (u) = \ operatorname {dn} (u) / \ operatorname {cn (u)}
\ Operatorname {ds} (u) = \ operatorname {dn} (u) / \ operatorname {sn (u)}
\ Operatorname {cs} (u) = \ operatorname {cn} (u) / \ operatorname {sn (u)}
\ Operatorname {cd} (u) = \ operatorname {cn} (u) / \ operatorname {dn (u)}

Більш коротко запишемо

\ Operatorname {pq} (u) = \ frac {\ operatorname {pr} (u)} {\ operatorname {qr (u)}}

де всі літери p, q, і r є будь-якими буквами s, c, d, n (слід пам'ятати, що ss = cc = dd = nn = 1).


6. Додаткові теореми

Опції задовольняють двом алгебраїчним співвідношенням

\ Operatorname {cn} ^ 2 + \ operatorname {sn} ^ 2 = 1, \,
\ Operatorname {dn} ^ 2 + k ^ 2 \ operatorname {sn} ^ 2 = 1. \,

Видно, що (cn, sn, dn) параметрізует еліптичну криву, яка є перетином двох квадриків певної вищезазначеними двома рівняннями. Ми тепер можемо визначити груповий закон для точок на цій кривій за допомогою дополненіятельних формул для функцій Якобі

\ Operatorname {cn} (x + y) = {\ operatorname {cn} (x) \; \ operatorname {cn} (y) - \ operatorname {sn} (x) \; \ operatorname {sn} (y) \ ; \ operatorname {dn} (x) \; \ operatorname {dn} (y) \ over {1 - k ^ 2 \; \ operatorname {sn} ^ 2 (x) \; \ operatorname {sn} ^ 2 (y )}},


\ Operatorname {sn} (x + y) = {\ operatorname {sn} (x) \; \ operatorname {cn} (y) \; \ operatorname {dn} (y) + \ operatorname {sn} (y) \ ; \ operatorname {cn} (x) \; \ operatorname {dn} (x) \ over {1 - k ^ 2 \; \ operatorname {sn} ^ 2 (x) \; \ operatorname {sn} ^ 2 (y )}},


\ Operatorname {dn} (x + y) = {\ operatorname {dn} (x) \; \ operatorname {dn} (y) - k ^ 2 \; \ operatorname {sn} (x) \; \ operatorname {sn } (y) \; \ operatorname {cn} (x) \; \ operatorname {cn} (y) \ over {1 - k ^ 2 \; \ operatorname {sn} ^ 2 (x) \; \ operatorname {sn } ^ 2 (y)}}.

7. Тригонометричні та гіперболічні функції, як окремий випадок еліптичних

  • Якщо m = 1, то
u = \ int \ limits_0 ^ \ varphi \ frac {d \ theta} {\ sqrt {1 - \ sin ^ 2 {\ theta}}} = \ operatorname {ln} \ left (\ frac {1} {\ cos \ varphi} - \ operatorname {tg} \ varphi \ right) ;

Звідси

\ Sin \ varphi = \ operatorname {sn} \, u = \ frac {e ^ u-1} {e ^ u +1} = \ operatorname {th} \, u

Звідси

\ Operatorname {cn} \, u = \ sqrt {1 - \ operatorname {sn} ^ 2 \, u} = \ frac {1} {\ operatorname {ch} \, u}

і

\ Operatorname {dn} \, u = \ sqrt {1 - \ operatorname {sn} ^ 2 \, u} = \ frac {1} {\ operatorname {ch} \, u}

Таким чином, при m = 1 еліптичні функції вироджуються в гіперболічні.

  • Якщо m = 0, то
u = \ int \ limits_0 ^ \ varphi d \ theta = \ varphi ;

Звідси

\ Sin \ varphi = \ sin \, u = \ operatorname {sn} \, u ,

а також

\ Operatorname {cn} \, u = \ cos \, u ,
\ Operatorname {dn} \, u = 1 ,

Таким чином, при m = 0 еліптичні функції вироджуються в тригонометричні.


8. Співвідношення між квадратами функцій

Для квадратів цих функцій вірні наступні співвідношення

- \ Operatorname {dn} ^ 2 (u) + m_1 =-m \; \ operatorname {cn} ^ 2 (u) = m \; \ operatorname {sn} ^ 2 (u)-m
-M_1 \; \ operatorname {nd} ^ 2 (u) + m_1 =-mm_1 \; \ operatorname {sd} ^ 2 (u) = m \; \ operatorname {cd} ^ 2 (u)-m
m_1 \; \ operatorname {sc} ^ 2 (u) + m_1 = m_1 \; \ operatorname {nc} ^ 2 (u) = \ operatorname {dc} ^ 2 (u)-m
\ Operatorname {cs} ^ 2 (u) + m_1 = \ operatorname {ds} ^ 2 (u) = \ operatorname {ns} ^ 2 (u)-m

де m + m 1 = 1 і m = k 2 .

Додаткові рівності для квадратів можна отримати якщо зауважити, що \ Operatorname {pq} ^ 2 \ cdot \ operatorname {qp} ^ 2 = 1 , А також \ Operatorname {pq} = \ operatorname {pr} / \ operatorname {qr} де p, q, r - будь-які букви s, c, d, n і ss = cc = dd = nn = 1.


9. Ном

Нехай ном дорівнює q = exp (- π K '/ K) і нехай аргумент - v = π u / (2 K) . Тоді функції можна представити у вигляді сум Ламберта

\ Operatorname {sn} (u) = \ frac {2 \ pi} {K \ sqrt {m}} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {q ^ {n +1 / 2}} {1 - q ^ {2n +1}} \ sin (2n +1) v,
\ Operatorname {cn} (u) = \ frac {2 \ pi} {K \ sqrt {m}} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {q ^ {n +1 / 2}} {1 + q ^ {2n +1}} \ cos (2n +1) v,
\ Operatorname {dn} (u) = \ frac {\ pi} {2K} + \ frac {2 \ pi} {K} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {q ^ {n}} {1 + q ^ {2n}} \ cos 2nv.

10. Рішення нелінійних звичайних диференціальних рівнянь

Похідні трьох основних еліптичних функцій якоби записуються у вигляді:

\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} \, \ mathrm {sn} \, (z; k) = \ mathrm {cn} \, (z; k) \, \ mathrm {dn } \, (z; k),


\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} \, \ mathrm {cn} \, (z; k) = - \ mathrm {sn} \, (z; k) \, \ mathrm { dn} \, (z; k),


\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} \, \ mathrm {dn} \, (z; k) = - k ^ 2 \ mathrm {sn} \, (z; k) \, \ mathrm {cn} \, (z; k).

Використовуючи теорему, формулювання якої наведена вище отримаємо для заданого k (0 <1) рівняння рішеннями яких є еліптичні функції Якобі:

  • \ Mathrm {sn} \, (x; k) є рішенням рівняння \ Frac {\ mathrm {d} ^ 2 y} {\ mathrm {d} x ^ 2} + (1 + k ^ 2) y - 2 k ^ 2 y ^ 3 = 0, і \ Left (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ right) ^ 2 = (1-y ^ 2) (1-k ^ 2 y ^ 2)
  • \ Mathrm {cn} \, (x; k) є рішенням рівняння \ Frac {\ mathrm {d} ^ 2 y} {\ mathrm {d} x ^ 2} + (1-2k ^ 2) y + 2 k ^ 2 y ^ 3 = 0, і \ Left (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ right) ^ 2 = (1-y ^ 2) (1-k ^ 2 + k ^ 2 y ^ 2)
  • \ Mathrm {dn} \, (x; k) є рішенням рівняння \ Frac {\ mathrm {d} ^ 2 y} {\ mathrm {d} x ^ 2} - (2 - k ^ 2) y + 2 y ^ 3 = 0, і \ Left (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ right) ^ 2 = (y ^ 2 - 1) (1 - k ^ 2 - y ^ 2)

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Еліптичні функції
Еліптичні функції Вейєрштрасса
Еліптичні рівняння
Еліптичні координати
Якобі
Якобі, Ернст
Тотожність Якобі
Метод Якобі
Символ Якобі
© Усі права захищені
написати до нас